《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

5. 计算：
(1)$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}$；
(2)$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{3}}$。

答案：
(1)$\sqrt{6}$
(2)$\sqrt{15}$
解析：
(1)$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{12}{2}}=\sqrt{6}$。
(2)$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{45}{3}}=\sqrt{15}$。

6. 计算：
(1)$\sqrt{\frac{3}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{18}}$；
(2)$\sqrt{15} ÷ \sqrt{1\frac{2}{3}}$。

答案：
(1)$3\sqrt{3}$
(2)3
解析：
(1)$\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{18}}=\sqrt{\frac{3}{2}×18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
(2)$\sqrt{15}÷\sqrt{1\frac{2}{3}}=\sqrt{15÷\frac{5}{3}}=\sqrt{15×\frac{3}{5}}=\sqrt{9}=3$。

7. 化简：(要求分母不带根号)
(1)$\frac{1}{\sqrt{5}}$；
(2)$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
解析：
(1)$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。

8. 将下列式子化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{\frac{3}{100}}$；
(2)$\sqrt{1\frac{15}{49}}$；
(3)$\sqrt{\frac{2}{5}}$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{10}$
(2)$\frac{8}{7}$
(3)$\frac{\sqrt{10}}{5}$
解析：
(1)$\sqrt{\frac{3}{100}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{3}}{10}$。
(2)$\sqrt{1\frac{15}{49}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{8}{7}$。
(3)$\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

9. 计算：$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{3}{4}} ÷ \sqrt{\frac{12}{25}}$

答案： $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
解析：原式$=\sqrt{12×\frac{3}{4}×\frac{25}{12}}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

10. 计算：
(1)$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$；
(2)$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$。

答案：
(1)3
(2)$2\sqrt{2}$
解析：
(1)$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$。
(2)$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

11. 计算：
(1)$\sqrt{3\frac{4}{15}} ÷ \sqrt{\frac{3}{5}}$；
(2)$\sqrt{1\frac{3}{5}}$。

答案：
(1)$\frac{7}{3}$
(2)$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
解析：
(1)$\sqrt{3\frac{4}{15}}÷\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{49}{15}×\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}$。
(2)$\sqrt{1\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。

12. 化简：(要求分母不带根号)
(1)$\frac{3}{\sqrt{3}}$；
(2)$\frac{2}{2 - \sqrt{3}}$。

答案：
(1)$\sqrt{3}$
(2)$4 + 2\sqrt{3}$
解析：
(1)$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$（分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$）。
(2)$\frac{2}{2 - \sqrt{3}}=\frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}=\frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 - 3}=4 + 2\sqrt{3}$。

13. 将下列式子化成最简二次根式：
(1)$\sqrt{\frac{3}{16}}$；
(2)$\sqrt{1\frac{2}{3}}$；
(3)$a\sqrt{\frac{1}{a}}$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{4}$
(2)$\frac{\sqrt{15}}{3}$
(3)$\sqrt{a}$
解析：
(1)$\sqrt{\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
(2)$\sqrt{1\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
(3)$a\sqrt{\frac{1}{a}}=a×\frac{\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}(a＞0)$。

14. 当$a = \sqrt{2}+1,b = \sqrt{2}-1$时，求代数式$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$的值。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，原式$=\frac{(a - b)^2}{(a - b)(a + b)}=\frac{a - b}{a + b}$。
$a - b=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2$，$a + b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，故原式$=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。