《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

4. 试判断以如下的a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1)a=10,b=8,c=6；( )
(2)a=4,b=6,c=8；( )
(3)a=√7,b=√15,c=√22；( )
(4)a=1,b=√2,c=√3；( )
(5)a=1,b=2,c=√3.( )

答案：
(1)是；
(2)不是；
(3)是；
(4)是；
(5)是
(1)6²+8²=36+64=100=10²；
(2)4²+6²=16+36=52≠8²=64；
(3)(√7)²+(√15)²=7+15=22=(√22)²；
(4)1²+(√2)²=1+2=3=(√3)²；
(5)1²+(√3)²=1+3=4=2².

5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1. (1)求AB、BC、AC的长；(2)求证：∠BAC=90°.

答案：
(1)AB=2√2，AC=3√2，BC=√26；
(2)证明：AB²+AC²=(2√2)²+(3√2)²=8+18=26=BC²，由勾股定理逆定理得∠BAC=90°.
（注：AB、AC长度根据网格计算，假设AB横向2格、纵向2格，AB=√(2²+2²)=2√2；AC横向3格、纵向3格，AC=√(3²+3²)=3√2；BC横向5格、纵向1格，BC=√(5²+1²)=√26）

6. (2022年广州市白云区期末)
(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.

答案：
(1)是，证明：(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²，
∴3k,4k,5k是勾股数.
(2)是，证明：a,b,c是勾股数，a²+b²=c²，(ak)²+(bk)²=k²(a²+b²)=k²c²=(ck)²，
∴ak,bk,ck是勾股数.

7. (2024年广州市白云区期末)在△ABC中，若BC=3，AC=4，AB=5，则( ).
A.∠A=90°
B.∠B=90°
C.∠C=90°
D.△ABC是锐角三角形

答案： C
BC=3，AC=4，AB=5，BC²+AC²=3²+4²=9+16=25=5²=AB²，
∴∠C=90°.

8. 如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)∠BCD是直角吗？

答案：
(1)面积=14，周长=√5+√10+√13+2√5；
(2)是直角
(1)面积用割补法：网格总面积减去周围三角形面积，周长各边勾股定理计算；
(2)BC²+CD²=10+13=23=BD²，由勾股定理逆定理得∠BCD=90°.

9. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m²-1,c=m²+1，那么a,b,c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

答案： 对，举例：m=2时，a=4,b=3,c=5；m=3时，a=6,b=8,c=10；m=4时，a=8,b=15,c=17.
证明：a²+b²=(2m)²+(m²-1)²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1=(m²+1)²=c²，
∴a,b,c是勾股数.