《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

5. 填空：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$a = 3$，$b = 4$，则$c=$________；
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$a = 8$，$b = 15$，则$c=$________；
(3)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$c = 10$，$a:b = 3:4$，则$a=$________，$b=$________.

答案：
(1)5；
(2)17；
(3)6，8
解析：
(1)$c=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$；
(2)$c=\sqrt{8^2 + 15^2}=17$；
(3)设$a=3k$，$b=4k$，$(3k)^2+(4k)^2=10^2$，$k=2$，$a=6$，$b=8$。

6. (2022年广州市花都区期末)如图，在正方形$ABCD$中，点$E$、$F$分别是边$BC$、$CD$的点. 若$AB = 4$，$BE = 2$，$CF = 1$.
(1)请求出$AF$的长；
(2)求证：$\angle AEF = 90^\circ$.

答案：
(1)5
解析：$DF=CD - CF=4 - 1=3$，$AF=\sqrt{AD^2 + DF^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
(2)证明：$AE=\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{EC^2 + CF^2}=\sqrt{(4 - 2)^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$AF=5$。$AE^2 + EF^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20 + 5=25=AF^2$，$\angle AEF = 90^\circ$。

7. 如图，小明家在学校$O$的北偏东$60^\circ$方向，距离学校80米的$A$处，小华家在学校$O$的南偏东$45^\circ$方向的$B$处，小华家在小明家的正南方，求小华家到学校的距离.（结果精确到1米，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{6}\approx2.45$）

答案： 57米
解析：过$O$作$OC\perp AB$于$C$，$OA=80$，$\angle AOC=60^\circ$，$OC=OA\cos60^\circ=40$米。$\angle BOC=45^\circ$，$OB=\frac{OC}{\cos45^\circ}=\frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=40\sqrt{2}\approx57$米。

8. (1)以下各组数为边长能构成直角三角形的是( )；
A. 5，11，12
B. 2，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$
C. $\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$
D. 9，12，15
(2)在$\triangle ABC$中，$AB = 2$，$BC=\sqrt{3}$，$AC=\sqrt{7}$，则$\triangle ABC$的面积为________.

答案：
(1)D
解析：D中$9^2 + 12^2=225=15^2$，是直角三角形。
(2)$\sqrt{3}$
解析：$AB^2 + BC^2=2^2+(\sqrt{3})^2=7=AC^2$，$\angle B=90^\circ$，面积$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^\circ$，点$D$在$AC$上，$AB = 6$，$AC = 8$，将$\triangle ABD$折叠得$\triangle BDE$，点$E$恰好在$BC$上，求$AD$的长.

答案： 3
解析：$BC=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$，设$AD=DE=x$，则$DC=8 - x$，$BE=AB=6$，$EC=10 - 6=4$。$DE^2 + EC^2=DC^2$，$x^2 + 4^2=(8 - x)^2$，解得$x=3$，$AD=3$。

10. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的$A$、$B$两个基地前去拦截，6分钟后同时到达$C$将其拦截. 已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西$40^\circ$，问：甲巡逻艇的航向？

答案： 北偏东$50^\circ$
解析：6分钟=0.1小时，$AC=120×0.1=12$海里，$BC=50×0.1=5$海里。$5^2 + 12^2=13^2$，$\angle ACB=90^\circ$。乙航向北偏西$40^\circ$，则甲航向为北偏东$90^\circ - 40^\circ=50^\circ$。