《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

4. 化简：
(1)$\sqrt{8}=$______； (2)$\sqrt{24}=$______；
(3)$\sqrt{8a^2}=$______； (4)$\sqrt{\frac{5}{4}}=$______；
(5)$\sqrt{\frac{2}{3}}=$______； (6)$\sqrt{\frac{2}{a}}=$______。

答案：
(1)$2\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2)$2\sqrt{6}$
解析：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
(3)$2\sqrt{2}|a|$（若$a\geq0$则$2\sqrt{2}a$）
解析：$\sqrt{8a^2}=2\sqrt{2}|a|$。
(4)$\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析：$\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(5)$\frac{\sqrt{6}}{3}$
解析：$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
(6)$\frac{\sqrt{2a}}{a}$
解析：$\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{\sqrt{2a}}{a}$。

5. (2023年广州市海珠区期末)下列运算正确的是( ).
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
C.$2×\sqrt{3}=\sqrt{6}$ D.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=2$

答案： D
解析：A. 不是同类二次根式，不能合并；B. $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；C. $2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；D. $\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{4}=2$，正确。

6. (2022年广州市白云区期末)计算：
(1)$\sqrt{4a}+\sqrt{25a}$；
(2)$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})^2$。

答案：
(1)$7\sqrt{a}$
解析：$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$，则$2\sqrt{a}+5\sqrt{a}=7\sqrt{a}$。
(2)$30 + 12\sqrt{6}$
解析：$(2\sqrt{3})^2 + 2×2\sqrt{3}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=12 + 12\sqrt{6}+18=30 + 12\sqrt{6}$。

7. 已知$x=\sqrt{3}+1$，求$x^2 - 2x - 3$的值。

答案： -1
解析：$x^2 - 2x - 3=(x - 1)^2 - 4$，$x - 1=\sqrt{3}$，则$(\sqrt{3})^2 - 4=3 - 4=-1$。

8. 化简：
(1)$\sqrt{18}=$______； (2)$\sqrt{40}=$______；
(3)$\sqrt{9a^2}=$______； (4)$\frac{1}{\sqrt{7}}=$______；
(5)$\sqrt{\frac{8}{49}}=$______； (6)$\sqrt{1\frac{1}{8}}=$______。

答案：
(1)$3\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2)$2\sqrt{10}$
解析：$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
(3)$3|a|$（若$a\geq0$则$3a$）
解析：$\sqrt{9a^2}=3|a|$。
(4)$\frac{\sqrt{7}}{7}$
解析：$\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$。
(5)$\frac{2\sqrt{2}}{7}$
解析：$\sqrt{\frac{8}{49}}=\frac{2\sqrt{2}}{7}$。
(6)$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
解析：$\sqrt{1\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。

9. 计算：
(1)$\sqrt{2}×\sqrt{\frac{9}{8}}=$______； (2)$\sqrt{40}÷\sqrt{5}=$______；
(3)$\sqrt{2}+\sqrt{18}=$______； (4)$\sqrt{27}-2\sqrt{75}=$______。

答案：
(1)$\frac{3}{2}$
解析：$\sqrt{2×\frac{9}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。
(2)$2\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{40}÷\sqrt{5}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(3)$4\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，则$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
(4)$-7\sqrt{3}$
解析：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，则$3\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-7\sqrt{3}$。

10. (2023年广州市荔湾区期末)计算：
(1)$(\sqrt{48}+2\sqrt{6})÷\sqrt{3}$；
(2)$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})$。

答案：
(1)$4 + 2\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{48}÷\sqrt{3}=4$，$2\sqrt{6}÷\sqrt{3}=2\sqrt{2}$，则$4 + 2\sqrt{2}$。
(2)$13 - 4\sqrt{6}$
解析：$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=12 - 4\sqrt{6}+2=14 - 4\sqrt{6}$，$(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})=1$，则$14 - 4\sqrt{6}-1=13 - 4\sqrt{6}$。

11. 若$m=2+\sqrt{3}$，$n=2-\sqrt{3}$，求下列各式的值：
(1)$m^2n + mn^2$； (2)$m^2 + 3mn + n^2$。

答案：
(1)4；
(2)17
解析：$mn=1$，$m + n=4$。
(1)$m^2n + mn^2=mn(m + n)=1×4=4$；
(2)$m^2 + 3mn + n^2=(m + n)^2 + mn=16 + 1=17$。