《2025年初中数学课堂导学案八年级下册人教版》

9. (2024年广州市增城区期末)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F，连结BE、DF．(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)请判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．

答案：
(1)作图：（保留痕迹，略）
(2)菱形
证明：
EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
AD//BC，∠DEF=∠BFE，
△DEO≌△BFO(AAS)，
∴DE=BF，
∴BE=DE=BF=DF，
∴四边形BEDF是菱形。

10. 如图，已知在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DF、EF、BF．
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．

答案：
(1)证明：
D、F是AB、AC中点，DF//BC且DF=BC/2，
E是BC中点，BE=BC/2，
∴DF//BE且DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形。
(2)解：∠AFB=90°，F是AC中点，
∴BF=AC/2=DF，
∴平行四边形BEFD是菱形，DF=AB/2=3，
周长=4×3=12。

11. 如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG=DE；
(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．

答案：
(1)证明：
矩形EFGH中EH=FG，EH//FG，
∴∠EHD=∠FGB，
菱形ABCD中AD//BC，
∴∠EDH=∠GBF，
△DEH≌△BGF(AAS)，
∴BG=DE。
(2)解：设菱形边长=2x，E为AD中点，DE=BG=x，
BD=BH+HF+FD=BG+FH+DE=2x+2，
菱形对角线交点O，OD=x+1，DE=x，EH=FG=OH=OF=1，
Rt△DEH中DE²+EH²=DH²，x²+1²=(x+1)²，解得x=0（舍）或x=2，
边长=4，周长=16。

12. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=√5，BD=2，求OE的长．

答案：
(1)证明：
AB//DC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC，又AB=AD，
∴AB=DC，
□ABCD中AB=AD，
∴是菱形。
(2)解：菱形ABCD中BD=2，BO=1，AB=√5，
AO=√(AB²-BO²)=√(5-1)=2，AC=4，
CE⊥AB，OE=AC/2=2（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。