《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

9. 如图，在5×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，则△ACE与△BDE的周长比为（ ）

A.2∶1
B.3∶1
C.3∶2
D.4∶1

答案： A

10.（教材P110例2变式）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置. 已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9. 若AA′ = 1，则A′D的长为（ ）

A.2
B.3
C.4
D.$\frac{3}{2}$

答案： B

11.（教材P112习题T7变式）如图，在△ABC中，DE//FG//BC. 若$S_{\triangle ADE}$∶$S_{四边形DEGF}$∶$S_{四边形FGCB}$ = 1∶3∶21，则AD∶DF∶FB = ________.

答案： 1:1:3

12. 如图，在□ABCD中，点E在边AB上，AE∶EB = 2∶3，DE交AC于点F.
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
（2）如果△CDF的面积为20，△ADF的面积为8，求四边形BEFC的面积.

答案： 解：
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB = CD$，$AB// CD$. $\therefore\angle AEF=\angle CDF$，$\angle EAF=\angle DCF$. $\therefore\triangle AEF\sim\triangle CDF$. $\because AE:EB = 2:3$，$\therefore\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$. $\therefore\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$. $\therefore\triangle AEF$与$\triangle CDF$的周长之比为$2:5$.
(2)$\because S_{\triangle CDF}=20$，$S_{\triangle ADF}=8$，$\therefore S_{\triangle ADC}=S_{\triangle CDF}+S_{\triangle ADF}=28$. $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}=28$. 由
(1)知$\triangle AEF\sim\triangle CDF$，$\therefore\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CDF}} = (\frac{AE}{CD})^2=\frac{4}{25}$. $\therefore S_{\triangle AEF}=20\times\frac{4}{25}=\frac{16}{5}$. $\therefore S_{四边形BEFC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}=28 - \frac{16}{5}=\frac{124}{5}$.

13. 如图，在矩形ABCD中，AD = 4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处.
（1）已知折痕与边BC交于点O，求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle C=\angle D=\angle B = 90^{\circ}$. $\therefore\angle COP+\angle CPO = 90^{\circ}$. 由折叠的性质，得$\angle OPA=\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DPA+\angle CPO = 90^{\circ}$. $\therefore\angle COP=\angle DPA$. $\therefore\triangle OCP\sim\triangle PDA$.
(2)解：由
(1)知$\triangle OCP\sim\triangle PDA$，$\therefore\frac{S_{\triangle OCP}}{S_{\triangle PDA}} = (\frac{PC}{AD})^2=\frac{1}{4}$. $\therefore\frac{PC}{AD}=\frac{1}{2}$. $\therefore PC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\times4 = 2$. $\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB = CD$. 由折叠的性质，得$AP = AB = CD$，$\therefore DP = CD - PC = AP - 2$. 在$Rt\triangle ADP$中，$AD^{2}+DP^{2}=AP^{2}$，即$4^{2}+(AP - 2)^{2}=AP^{2}$. $\therefore AP = 5$. $\therefore AB = 5$.