《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

9.（2023 - 2024·贵阳期中）一张横格数学作业纸如图所示，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等. 线段$AC$在横格纸上，与作业本的横格交于点$B$. 若$AB = 6$，则$AC$的长是（ ）

A. 9
B. 12
C. 14
D. 15

答案： D

10.（教材P85习题T4变式）如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是边$AB$，$AC$，$BC$上的点，$DE// BC$，$EF// AB$，且$AD:DB = 3:5$，那么$CF:CB=$____.

答案： 5:8

11.（六盘水期中）如图，在$\triangle ABC$中，$EF// CD$，$DE// BC$.
（1）求证：$AF:FD = AD:DB$；
（2）若$AB = 15$，$AD:DB = 2:1$，求$FD$的长.

答案：
(1)证明：因为$EF// CD$，所以$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$。因为$DE// BC$，所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。所以$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{BD}$，即$AF:FD = AD:DB$。
(2)解：因为$AB = 15$，$AD:DB = 2:1$，所以$AD=\frac{2}{3}AB = 10$。由
(1)知$AF:FD = AD:DB$，所以$AF:FD = 2:1$。所以$FD=\frac{1}{3}AD=\frac{10}{3}$。

12. 如图，$AB$与$CD$相交于点$E$，点$F$在线段$AD$上，且$BD// EF// AC$. 若$DE = 5$，$DF = 3$，$CE = AD$.
（1）求$AD$的长；
（2）求$\frac{AE}{BE}$的值.

答案： 解：
(1)设$CE = AD=x$，则$AF=AD - DF=x - 3$。因为$EF// AC$，所以$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{AF}$。所以$\frac{5}{x}=\frac{3}{x - 3}$，解得$x=\frac{15}{2}$。所以$AD=\frac{15}{2}$。
(2)因为$AD=\frac{15}{2}$，$DF = 3$，所以$AF=AD - DF=\frac{9}{2}$。因为$EF// BD$，所以$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{\frac{9}{2}}{3}=\frac{3}{2}$。

13. 阅读材料，解答下列问题：
角平分线分线段成比例定理：如图①，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：过点$C$作$CE// DA$，交$BA$的延长线于点$E$……
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图②，在$\triangle ABC$中，$AD$是角平分线，$AB = 5\ cm$，$AC = 4\ cm$，$BC = 7\ cm$. 求$BD$的长.

答案： 解：
(1)因为$CE// DA$，所以$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$，$\angle CAD=\angle ACE$，$\angle BAD=\angle E$。因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。所以$\angle ACE=\angle E$。所以$AE = AC$。所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)因为$AD$是角平分线，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。所以$\frac{5}{4}=\frac{BD}{7 - BD}$。所以$BD=\frac{35}{9}cm$。