《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7.(2023·鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_1 = k_1x + b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}$ 的图象(其中 $k_1k_2\neq0$)相交于 $A(-2,3)$，$B(m,-2)$ 两点，过点 $B$ 作 $BP// x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $P$，连接 $AP$，则 $\triangle ABP$ 的面积是 .

答案： $\frac{15}{2}$

8.(2023·恩施中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 交 $y$ 轴于点 $A$，交 $x$ 轴于点 $B$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 的图象在第一、三象限分别交于 $C$，$D$ 两点，$AB=\frac{1}{2}BC$，连接 $CO$，$DO$.
(1)求 $k$ 的值；
(2)求 $\triangle COD$ 的面积.

答案： 解：
(1)在$y = x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$；令$y = 0$，得$x = -2$，$\therefore A(0,2)$，$B(-2,0)$.$\because AB = \frac{1}{2}BC$，$\therefore A$为$BC$的中点.$\therefore C(2,4)$. 把$C(2,4)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$4 = \frac{k}{2}$，解得$k = 8$.
(2)联立$\begin{cases}y = x + 2 \\ y = \frac{8}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = -4 \\ y = -2\end{cases}$.$\therefore D(-4,-2)$.$\therefore S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOD} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}\times2\times2 + \frac{1}{2}\times2\times4 = 2 + 4 = 6$.

9. 如图，已知一次函数 $y = ax + b$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x＜0)$ 的图象交于 $A(-2,4)$，$B(-4,2)$ 两点，且与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $C$，$D$.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，求点 $P$ 的坐标.

答案： 解：
(1)将$A(-2,4)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$4 = \frac{m}{-2}$，解得$m = -8$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y = -\frac{8}{x}$. 将$A(-2,4)$，$B(-4,2)$代入$y = ax + b$，得$\begin{cases}-2a + b = 4 \\ -4a + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 6\end{cases}$.$\therefore$一次函数的表达式为$y = x + 6$.
(2)在$y = x + 6$中，当$y = 0$时，$x = -6$，$\therefore C(-6,0)$.$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OC\cdot(y_{A} - y_{B}) = \frac{1}{2}\times6\times(4 - 2) = 6$.$\therefore S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}S_{\triangle AOB} = 3$.$\because$点$P$在$y$轴上，$\therefore S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}\times2OP = 3$.$\therefore OP = 3$.$\therefore$点$P$的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.