《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

8.(2023.遵义模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax十b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$
　的图象都经过A(2,−4),B(−4,m)两点.
　(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
　(2)过O,A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C,连接BC,求△ABC的面积.

答案： 解：
(1)把$A(2,-4)$，$B(-4,m)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 2\times(-4)=-4m$，解得$k = -8$，$m = 2$. $\therefore$反比例函数的表达式为$y = -\frac{8}{x}$. 把$A(2,-4)$和$B(-4,2)$代入$y = ax + b$，得$\begin{cases}2a + b = -4\\-4a + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\end{cases}$. $\therefore$一次函数的表达式为$y = -x - 2$.
(2)设$AB$与$x$轴交于点$D$，连接$CD$. 由题意可知，点$A$与点$C$关于原点对称，$\therefore C(-2,4)$. 在$y = -x - 2$中，当$y = 0$时，$x = -2$，$\therefore D(-2,0)$. $\therefore CD$垂直$x$轴于点$D$. $\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\times4\times(2 + 2)+\frac{1}{2}\times4\times(4 - 2)=8 + 4 = 12$.

9.(2023.温州中考)在温
　度不变的条件下，通过
　　　　　　　　　　　　 一次又一次地对汽缸顶
　部的活塞加压，加压后
　气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系，p关于V的函数图象如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了______mL.

答案： 20

10.(2023.贵阳云岩区模拟)心理学家研究发现，一般情况下,学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数关系，满足y=2x+20(0≤x＜10),中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中BC为水平线段，CD为双曲线的一部分).
　　(1)请根据图象,求出上课25min后学生的注意力指标数与上课时间所满足的函数表达式;(不要求写出自变量的取值范围)
　　(2)一道数学作业题,需要讲22min,为了效果较好，老师能否经过适当安排,在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目？请说明理由.

答案： 解：
(1)设$CD$段所在双曲线的函数表达式为$y = \frac{k}{x}(k\gt0)$. 把$C(25,40)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$\frac{k}{25}=40$，解得$k = 1000$. $\therefore$上课$25$ $min$后学生的注意力指标数与上课时间所满足的函数表达式为$y = \frac{1000}{x}$.
(2)能. 理由如下：对于$AB$段：$y = 2x + 20(0\leq x\lt10)$，当$y = 30$时，$2x + 20 = 30$，解得$x = 5$. 对于$CD$段：$y = \frac{1000}{x}$，当$y = 30$时，$\frac{1000}{x}=30$，解得$x = \frac{100}{3}$. $\because\frac{100}{3}-5=\frac{85}{3}\gt22$，$\therefore$经过适当安排，老师能在学生注意力指标数不低于$30$的状态下讲完这道题目.