《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 如图所示的拱桥是抛物线形，其函数表达式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}$，当水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥顶的高度是（　　　）

A. 3m　
　B. 2$\sqrt{6}$m
　C. 4$\sqrt{3}$m
　D. 9m

答案： D

2. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6m，该抛物线的函数表达式为____________________.

答案： $y = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 6$

3. 如图，一个高3m的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽AB = 6m，涵洞内水面宽度MN = 4m.
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式；
（2）求涵洞内的水深.

答案：
解：
(1)如图，取$AB$的中点$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，过点$O$且垂直于$AB$的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系，则$A(-3,0)$，$B(3,0)$。设抛物线与$y$轴交于点$C$，则$C(0,3)$。设抛物线的函数表达式为$y = ax^2 + 3$，把$A(-3,0)$代入，得$9a + 3 = 0$，解得$a = -\frac{1}{3}$，$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{3}x^2 + 3$。

(2)设$MN$与$y$轴相交于点$D$，则$DM = DN = 2m$。令$x = 2$，则$y = -\frac{1}{3}×2^2 + 3 = \frac{5}{3}$。$\therefore$涵洞内的水深为$\frac{5}{3}m$。

4. 在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 若喷出的抛物线形水柱的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}(x - 1)^{2} + 3(0\leqslant x\leqslant3)$，则水管的长为（　　　）

A. 1m　
　B. 2m　　
　C.$\frac{9}{4}$m　
　D. 3m

答案： C

5. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h = -5t² + 20t，当飞行时间t为____s时，小球达到最高点.

答案： 2

6.（2023.兰州中考）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示. 当运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点；当运动员离起跳点A的水平距离为3m时，离水面的距离为7m.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.

答案： 解：
(1)根据题意，得抛物线过点$(0,10)$，$(3,7)$，对称轴为直线$x = 1$。设$y$关于$x$的函数表达式为$y = a(x - 1)^2 + k$。$\therefore\begin{cases}a + k = 10\\4a + k = 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\k = 11\end{cases}$。$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = -(x - 1)^2 + 11$。
(2)在$y = -(x - 1)^2 + 11$中，令$y = 0$，则$0 = -(x - 1)^2 + 11$，解得$x_1 = \sqrt{11} + 1$，$x_2 = -\sqrt{11} + 1$(舍去)。$\therefore$运动员从起跳点到入水点的水平距离$OB$的长为$(\sqrt{11} + 1)m$。