《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

8. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）

答案： C

9.（2023·深圳中考）如图，在□ABCD中，AB = 4，BC = 6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF. 若四边形ECDF为菱形，则a的值为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

10.（教材P7习题T1变式）如图，在□ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF. 只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是____________.（写出一个即可）

答案： $AE = AF$（答案不唯一）

11. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过BD的中点O作EF⊥BD，分别交AB，BC于点E，F，连接DE，DF. 求证：四边形BEDF是菱形.

答案： 证明:
∵ $EF\perp BD$，
∴ $\angle BOE=\angle BOF = 90^{\circ}$.
∵ $BD$ 平分 $\angle ABC$，
∴ $\angle OBE=\angle OBF$. 又
∵ $OB = OB$，
∴ $\triangle BOE\cong\triangle BOF(ASA)$.
∴ $OE = OF$.
∵ $O$ 是 $BD$ 的中点，
∴ $OB = OD$.
∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形.
∵ $EF\perp BD$，
∴ 四边形 $BEDF$ 是菱形.

12.（2023·沈阳中考）如图，在△ABC中，AB = AC，AD是边BC上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF//BE，交AD的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF是菱形.

答案： 证明:
∵ $AB = AC$，$AD$ 是边 $BC$ 上的中线，
∴ $AD\perp BC$.
∴ $AD$ 垂直平分 $BC$.
∴ $BE = CE$，$BF = CF$.
∴ $\angle BED=\angle CED$.
∵ $CF// BE$，
∴ $\angle BED=\angle CFD$.
∴ $\angle CED=\angle CFD$.
∴ $CE = CF$.
∴ $BE = BF = CF = CE$.
∴ 四边形 $BECF$ 是菱形.

13.【注重动手操作能力】（教材P10习题T5变式）数学活动课上，老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个以∠A为内角的菱形吗？
小明的折法如下：
第一步：折出∠BAC的平分线，交BC于点D；
第二步：折出AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F，把纸片展平；
第三步：折出DE，DF，得到四边形AEDF.
请根据小明的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形.

答案：
解:如图所示. 证明:
∵ $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，
∴ $\angle BAD=\angle CAD$.
∵ $EF$ 是 $AD$ 的垂直平分线，
∴ $AE = DE$.
∴ $\angle EAD=\angle EDA$.
∴ $\angle EDA=\angle CAD$.
∴ $DE// AF$. 同理可得 $AE// DF$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形. 又
∵ $AE = DE$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是菱形.