《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7.（六盘水期中）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A. $(x - 2)(x + 5)=2$
B. $(x - 2)^2=x - 2$
C. $x^2 + 5x - 2=0$
D. $12(2 - x)^2=3$

答案： B

8. 用因式分解法解方程$x^2 - mx - 6=0$，若将左边因式分解后有一个因式是$x - 3$，则$m$的值是（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

答案： B

9.（易错题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^2 - 7x + 10=0$的两根，则该等腰三角形的周长为_____.

答案： 12

10.【注重代数过程推理】下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.
解方程：$(3x - 1)^2=2(3x - 1)$.
解：两边同除以$3x - 1$，得$3x - 1=2$.（第一步）
移项，合并同类项，得$3x=3$.（第二步）
两边同除以3，得$x=1$.（第三步）
任务：
（1）小明的解法从第_____步开始出现错误；
（2）此题的正确结果是______________；
（3）用因式分解法解方程：
①$x^2 - 1=4(x - 1)$；
②$3(x - 5)^2=25 - x^2$.

答案： 解:
(1) -
(2)$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$
(3)①原方程可变形为$(x + 1)(x - 1)-4(x - 1)=0$.因式分解,得$(x - 1)(x + 1 - 4)=0$.$\therefore x - 1 = 0$，或$x + 1 - 4 = 0$，$\therefore x_1 = 1$，$x_2 = 3$.
②原方程可变形为$3(x - 5)^{2}+(x + 5)(x - 5)=0$.因式分解,得$(x - 5)(3x - 15 + x + 5)=0$.$\therefore x - 5 = 0$，或$4x - 10 = 0$，$\therefore x_1 = 5$，$x_2=\frac{5}{2}$.

11.【注重阅读理解】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”. 例如，方程$x^2=4$和$(x - 2)(x + 3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据以上定义，下列方程属于“同伴方程”的是_______；（填序号）
①$(x - 1)^2=9$；
②$x^2 + 4x + 4=0$；
③$x^2 + 2x - 8=0$.
（2）关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x=0$与$x^2 + x + m - 1=0$为“同伴方程”，求$m$的值；
（3）若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c=0$（$a≠0$）同时满足$a - b + c=0$和$9a + 3b + c=0$，且与$(x - n)(x + 3)=0$互为“同伴方程”，求$n$的值.

答案： 解:
(1)①②
(2)解方程$x^{2}-2x = 0$，得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$.当相同的根是$x = 0$时，$m - 1 = 0$，解得$m = 1$；当相同的根是$x = 2$时，$4 + 2 + m - 1 = 0$，解得$m = - 5$.综上所述，$m$的值是1或 - 5.
(3)$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$同时满足$a - b + c = 0$和$9a + 3b + c = 0$，$\therefore$该方程的两个根是$x_1 = - 1$，$x_2 = 3$.$\because$方程$(x - n)(x + 3)=0$的两个根是$x_1 = n$，$x_2 = - 3$，且与方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$为“同伴方程”，$\therefore n = - 1$或3.

1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$4x^2 - 49 = 0$；
(2)$x^2 + 4x = 5$；
(3)$x^2 - 2\sqrt{3}x = 1$；
(4)$4x - 4 = -3x^2$；
(5)$x^2 + 2x - 2 = 8x + 2$；
(6)$x - 2 = x(x - 2)$；
(7)$(4x + 1)^2 = (2x - 5)^2$；
(8)$(x - 1)(1 + 2x) = 2$；
(9)$(x + 2)^2 - 10(x + 2) + 25 = 0$.

答案： 解：
(1) 原方程可变形为$x^{2}=\frac{49}{4}$. 两边开平方，得$x = \pm\frac{7}{2}$. $\therefore x_{1}=\frac{7}{2},x_{2}=-\frac{7}{2}$.
(2) 配方，得$x^{2}+4x + 2^{2}=5 + 2^{2}$，即$(x + 2)^{2}=9$. 两边开平方，得$x + 2=\pm3$，即$x + 2 = 3$，或$x + 2=-3$. $\therefore x_{1}=1,x_{2}=-5$.
(3) 配方，得$x^{2}-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^{2}=1+(\sqrt{3})^{2}$，即$(x-\sqrt{3})^{2}=4$. 两边开平方，得$x-\sqrt{3}=\pm2$，即$x-\sqrt{3}=2$，或$x-\sqrt{3}=-2$. $\therefore x_{1}=\sqrt{3}+2,x_{2}=\sqrt{3}-2$.
(4) 原方程可变形为$3x^{2}+4x - 4 = 0$. 这里$a = 3,b = 4,c=-4$. $\because b^{2}-4ac=4^{2}-4\times3\times(-4)=64＞0$，$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\times3}=\frac{-4\pm8}{6}$，即$x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=-2$.
(5) 整理，得$x^{2}-6x = 4$. 配方，得$x^{2}-6x + 9 = 4 + 9$，即$(x - 3)^{2}=13$. 两边开平方，得$x - 3=\pm\sqrt{13}$. 即$x - 3=\sqrt{13}$，或$x - 3=-\sqrt{13}$. $\therefore x_{1}=3+\sqrt{13},x_{2}=3-\sqrt{13}$.
(6) 原方程可变形为$x - 2-x(x - 2)=0$，因式分解，得$(x - 2)(1 - x)=0$. $\therefore x - 2 = 0$，或$1 - x = 0$. $\therefore x_{1}=2,x_{2}=1$.
(7) 原方程可变形为$(4x + 1)^{2}-(2x - 5)^{2}=0$. 因式分解，得$(4x + 1 + 2x - 5)(4x + 1 - 2x + 5)=0$，即$(6x - 4)(2x + 6)=0$. $\therefore 6x - 4 = 0$，或$2x + 6 = 0$. $\therefore x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=-3$.
(8) 原方程可变形为$2x^{2}-x - 3 = 0$. 这里$a = 2,b=-1,c=-3$. $\because b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times2\times(-3)=25＞0$，$\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{25}}{2\times2}=\frac{1\pm5}{4}$，即$x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-1$.
(9) 因式分解，得$(x + 2 - 5)^{2}=0$. $\therefore (x - 3)^{2}=0$. $\therefore x_{1}=x_{2}=3$.

2. 阅读下列材料：
材料一：将$x^2 + 2x - 35$分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：①竖分二次项与常数项：
$x^2 = x\cdot x$，$-35 = (-5)\times( + 7)$.
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：
$x^2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
材料二：根据乘法原理，若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)$x^2 + 5x + 4 = 0$；
(2)$x^2 - 6x - 7 = 0$；
(3)$x^2 - 6x + 8 = 0$；
(4)$2x^2 + x - 6 = 0$.

答案： 解：
(1) 由题意，得$(x + 1)(x + 4)=0$，$\therefore x + 1 = 0$，或$x + 4 = 0$. $\therefore x_{1}=-1,x_{2}=-4$.
(2) 由题意，得$(x + 1)(x - 7)=0$，$\therefore x + 1 = 0$，或$x - 7 = 0$. $\therefore x_{1}=-1,x_{2}=7$.
(3) 由题意，得$(x - 2)(x - 4)=0$，$\therefore x - 2 = 0$，或$x - 4 = 0$. $\therefore x_{1}=2,x_{2}=4$.
(4) 由题意，得$(2x - 3)(x + 2)=0$，$\therefore 2x - 3 = 0$，或$x + 2 = 0$. $\therefore x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-2$.

3. 阅读材料，解答问题.
解方程：$(4x - 1)^2 - 10(4x - 1) + 24 = 0$.
解：把$4x - 1$视为一个整体，设$4x - 1 = y$，
则原方程可化为$y^2 - 10y + 24 = 0$，
解得$y_1 = 6$，$y_2 = 4$.
$\therefore 4x - 1 = 6$或$4x - 1 = 4$.
$\therefore x_1 = \frac{7}{4}$，$x_2 = \frac{5}{4}$.
以上方法叫做换元法，通过换元可达到简化或降次的目的，体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程：
(1)$(3x - 5)^2 + 4(3x - 5) + 3 = 0$；
(2)$x^4 - x^2 - 6 = 0$；
(3)$(x^2 - x)(x^2 - x - 4) = -4$.

答案： 解：
(1) 设$3x - 5 = y$，则原方程可化为$y^{2}+4y + 3 = 0$，解得$y_{1}=-3,y_{2}=-1$. $\therefore 3x - 5=-3$，或$3x - 5=-1$. $\therefore x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=\frac{4}{3}$.
(2) 设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-y - 6 = 0$，解得$y_{1}=3,y_{2}=-2$. $\therefore x^{2}=3$，或$x^{2}=-2$(舍去). $\therefore x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$.
(3) 设$x^{2}-x = y$，则原方程可化为$y(y - 4)=-4$，解得$y_{1}=y_{2}=2$. $\therefore x^{2}-x = 2$，解得$x_{1}=2,x_{2}=-1$.