《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

6.（2023 - 2024·贵阳期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 若$\angle AOB = 60^{\circ}$，$AB = 2$，则对角线AC的长是 （ ）

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： A

7.（2023·兰州中考）如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG. 若$AB = 4$，$CE = 10$，则AG的长为 （ ）

A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5

答案： C

8.（2023·大庆中考）如图，在$\square ABCD$中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，$\angle ACF = 90^{\circ}$.
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若$CD = 13$，$CF = 5$，求四边形ABCE的面积.

答案： （1）证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$。$\therefore\angle ADE=\angle FCE$，$\angle DAE=\angle CFE$。$\because E$为线段$CD$的中点，$\therefore DE = CE$。$\therefore\triangle ADE\cong\triangle FCE(AAS)$。$\therefore AE = FE$。$\therefore$四边形$ACFD$是平行四边形。$\because\angle ACF = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$ACFD$是矩形。
（2）解：$\because$四边形$ACFD$是矩形，$\therefore\angle CFD = 90^{\circ}$，$AC = DF$，$AD = CF$。$\because CD = 13$，$CF = 5$，$\therefore AC = DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}} = 12$。$\therefore S_{\triangle ADE}=\frac{1}{4}S_{矩形ACFD}=\frac{1}{4}CF\cdot DF = 15$，$S_{\square ABCD}=AD\cdot AC = 60$。$\therefore S_{四边形ABCE}=S_{\square ABCD}-S_{\triangle ADE}=45$。

9. 已知菱形ABCD，下列条件中，不能判定这个菱形为正方形的是 （ ）
A. $\angle A=\angle B$
B. $\angle A=\angle C$
C. $AC = BD$
D. $AB\perp BC$

答案： B

10. 如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，$\triangle ACE$为等边三角形. 若$AB = 2$，则OE的长为_____.

答案： $\sqrt{6}$

11. 如图，在$Rt\triangle CEF$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CEF$，$\angle CFE$外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，垂足为B，D.
（1）$\angle EAF$的度数为________；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形；
②若$BE = EC = 3$，求DF的长.

答案： （1）解：$45^{\circ}$
（2）①证明：过点$A$作$AG\perp EF$于点$G$。$\because AB\perp CE$，$AD\perp CF$，$\therefore\angle B=\angle D = 90^{\circ}=\angle C$。$\therefore$四边形$ABCD$是矩形。$\because\angle CEF$，$\angle CFE$外角平分线交于点$A$，$\therefore AB = AG$，$AD = AG$。$\therefore AB = AD$。$\therefore$四边形$ABCD$是正方形。
②解：$\because BE = EC = 3$，$\therefore BC = 6$。由①知四边形$ABCD$是正方形，$\therefore CD = BC = 6$。在$Rt\triangle ABE$与$Rt\triangle AGE$中，$\begin{cases}AE = AE\\AB = AG\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle AGE(HL)$。$\therefore EG = BE = 3$。同理可得$GF = DF$。设$DF = x$，则$GF = x$，$FC = 6 - x$。$\therefore EF = x + 3$。在$Rt\triangle CEF$中，$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$，即$3^{2}+(6 - x)^{2}=(x + 3)^{2}$，解得$x = 2$。$\therefore DF = 2$。