《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角. 顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c，则添加顺序正确的是（ ）

A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ②③

答案： C

8. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE = BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）

A. BC = AC
B. BD = DF
C. AC = BF
D. CF⊥BF

答案： C

9.（2023·十堰中考）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）当□ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？请说明理由.

答案： 解:
(1)四边形$BPCO$是平行四边形.理由如下:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OC = OA=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$.由题意，得$BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，$\therefore OC = BP$，$OB = CP$.$\therefore$四边形$BPCO$是平行四边形.
(2)当$AC\perp BD$且$AC = BD$时,四边形$BPCO$是正方形.理由如下:$\because AC = BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，$\therefore OB = OC$.$\because$四边形$BPCO$是平行四边形，$\therefore$四边形$BPCO$是菱形.$\because AC\perp BD$，$\therefore\angle BOC = 90^{\circ}$.$\therefore$四边形$BPCO$是正方形.

10. 如图，四边形ABCD为正方形，AB = $4\sqrt{2}$，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究CE + CG的长是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

答案：
(1)证明:过点$E$作$EM\perp BC$于点$M$，$EN\perp CD$于点$N$，$\therefore\angle EMC=\angle ENC = 90^{\circ}$.$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle BCA=\angle DCA$.$\therefore\angle MEN = 360^{\circ}-\angle EMC-\angle ENC-\angle BCD = 90^{\circ}$，$EM = EN$.$\therefore\angle FEM+\angle FEN = 90^{\circ}$.$\because EF\perp DE$，$\therefore\angle DEF = 90^{\circ}$.$\therefore\angle DEN+\angle FEN = 90^{\circ}$.$\therefore\angle FEM=\angle DEN$.$\therefore\triangle FEM\cong\triangle DEN(\text{ASA})$.$\therefore FE = DE$.$\because$四边形$DEFG$是矩形，$\therefore$矩形$DEFG$是正方形.
(2)解:$CE + CG$的长是定值.由
(1)知矩形$DEFG$是正方形，$\therefore DE = DG$，$\angle EDC+\angle CDG = 90^{\circ}$.$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD = DC = AB = BC$，$\angle ADE+\angle EDC = 90^{\circ}$.$\therefore\angle ADE=\angle CDG$.$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDG(\text{SAS})$.$\therefore AE = CG$.$\therefore CE + CG = CE + AE = AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 8$，是定值.