《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7. （2023 - 2024·遵义红花岗区期中）现要在一个长为40 m，宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草. 如图，要使种植花草的面积为864 m²，若设小道的宽度为x m，则由题意可列方程为（ ）

A. (40 - 2x)(26 - x)=40×26 - 864
B. (40 - 2x)(26 - x)=864
C. (40 - x)(26 - 2x)=864
D. (40 - 2x)(26 - x)+2x²=864

答案： B

8. （教材P44习题T1变式）一张照片长7英寸，宽5英寸. 现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，矩形衬纸的面积与照片的面积之比为9 : 5，求照片四周外露衬纸的宽度.

答案： 解：设照片四周外露衬纸的宽度为 $x$ 英寸. 根据题意，得 $(7 + 2x)(5 + 2x):(7×5)=9:5$，整理，得 $x^{2}+6x - 7 = 0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=-7$（不符合题意，舍去）. 答：照片四周外露衬纸的宽度为 1 英寸.

9. （教材P45习题T2变式）（2023·东营中考）如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能为650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

答案： 解：
(1)设 $AB = x$ m，则 $BC = 70 - 2x + 2=(72 - 2x)$ m. 根据题意，得 $x(72 - 2x)=640$，解得 $x_{1}=16$，$x_{2}=20$. 当 $x = 16$ 时，$72 - 2x = 72 - 32 = 40$（m）. 当 $x = 20$ 时，$72 - 2x = 72 - 40 = 32$（m）. 答：当羊圈的长为 40 m，宽为 16 m 或长为 32 m，宽为 20 m 时，能围成一个面积为 $640$ $m^{2}$ 的羊圈.
(2)不能. 理由如下：根据题意，得 $x(72 - 2x)=650$. 整理，得 $x^{2}-36x + 325 = 0$. $\therefore\Delta = (-36)^{2}-4×325=-4\lt0$. $\therefore$ 该方程没有实数根. $\therefore$ 羊圈的面积不能为 $650$ $m^{2}$.

10.【注重分类讨论思想】（教材P45习题T4变式）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(12,1)，A(a,0)，B(0,a)，且a＞0. 若△PAB的面积为18，求a的值.

答案： 解：过点 $P$ 作 $PD\perp x$ 轴于点 $D$. 分两种情况讨论：①当 $0\lt a\lt12$ 时，$\because P(12,1)$，$A(a,0)$，$B(0,a)$，$\therefore PD = 1$，$OD = 12$，$OA = a$，$OB = a$，$\therefore S_{\triangle PAB}=S_{梯形OBPD}-S_{\triangle OAB}-S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}×12(a + 1)-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}×1×(12 - a)=18$，解得 $a_{1}=4$，$a_{2}=9$；②当 $a\gt12$ 时，$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle OAB}-S_{梯形OBPD}-S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}×12×(1 + a)-\frac{1}{2}×1×(a - 12)=18$，解得 $a=\frac{13+\sqrt{313}}{2}$ 或 $\frac{13 - \sqrt{313}}{2}$（舍去）. 综上所述，$a$ 的值为 4 或 9 或 $\frac{13+\sqrt{313}}{2}$.