《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 如图，能使$\triangle ABC\sim\triangle ADE$成立的条件是(　　　)
A. $\angle A=\angle A$　　　　　B. $\angle ADE=\angle AED$
C. $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$　　　　　D. $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$

答案： C

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，连接$BE$，$CD$交于点$O$，则$\frac{OE}{OB}$的值为______.
(二)作辅助线构造基本模型

答案： $\frac{1}{4}$

3. [一题多解]如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AD$上一点，延长$BE$，交$AC$于点$F$，求证：$\frac{AE}{DE}=\frac{2AF}{CF}$.
证法一(构造“A”字型):如图，过点$D$作$DH// BF$，交$AC$于点$H$.(请把证明过程补充完整)
证法二(构造“X”字型):如图，过点$D$作$DK// AC$，交$BF$于点$K$.(请把证明过程补充完整)
思考:本题还有其他作辅助线构造“A”或“X”字型的方法，比如过点$A$作$BF$的平行线，与$CB$的延长线相交或过点$A$作$BC$的平行线，与$BF$的延长线相交等，通过这些证法，你能发现解决这类问题的共性方法吗？

答案： 证法一：证明：$\because DH// BF$，$\therefore \frac{CH}{FH}=\frac{CD}{BD}$，$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}$.$\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore CD = BD$.$\therefore CH = FH=\frac{1}{2}CF$.$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{FH}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}$.
证法二：证明：$\because AD$是边$BC$上的中线，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$.$\because DK// AC$，$\therefore \angle BDK=\angle C$，$\angle KDE=\angle EAF$.$\because \angle KBD=\angle FBC$，$\angle DEK=\angle AEF$，$\therefore \triangle BDK\backsim\triangle BCF$，$\triangle DEK\backsim\triangle AEF$.$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{DK}{CF}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{DK}=\frac{AE}{DE}$.$\therefore DK=\frac{1}{2}CF$.$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DK}=\frac{AF}{\frac{1}{2}CF}=\frac{2AF}{CF}$.

4. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的高. 明明同学根据已知条件，得出下列结论:①$AC^{2}=AD\cdot AB$；②$BC^{2}=BD\cdot AB$；③$CD^{2}=AD\cdot BD$；④$CD\cdot AB = AC\cdot BC$，其中正确结论的个数是(　　　)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D