《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1.（铜仁德江县期中）如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A. ∠ABP = ∠C
B. ∠APB = ∠ABC
C. $\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$
D. $\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CB}$

答案： D

2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O. 若 $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，则图中一定相似的三角形是（ ）

A. △BOA∽△BAD
B. △BOA∽△COD
C. △BOC∽△BCD
D. △COB∽△CBA

答案： B

3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为边 BC 上的中线，DE⊥AB 于点 E.
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若 AC = 13，BC = 10，求线段 BE 的长.

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,AD为边BC上的中线，
∴∠B=∠C,AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°=∠ADC.
∴△BDE∽△CAD.
(2)解:
∵AB=AC,AD为边BC上的中线,BC=10,
∴BD=CD =$\frac{1}{2}$BC=5.由
(1)知△BDE∽△CAD,
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{AC}$，即$\frac{BE}{5}=\frac{5}{13}$.
∴BE = $\frac{25}{13}$.

4.（2023·铜仁模拟）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE，交对角线 AC 于点 F. 若 AB = 4，AD = 3，则 CF 的长是（ ）

A. 3
B. $\frac{10}{3}$
C. 4
D. $\frac{13}{3}$

答案： B

5. 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠BAD = ∠C，∠ABC 的平分线交边 AC 于点 E，交 AD 于点 F，则下列结论错误的是（ ）

A. △BDF∽△BEC
B. △BFA∽△BEC
C. △BAC∽△BDA
D. △BDF∽△BAE

答案： A

6.（教材 P120 复习题 T11 变式）如图，点 D，F 分别在等边三角形 ABC 的边 CB 的延长线与反向延长线上，且满足 BD·CF = BC².
（1）求证：△ADB∽△FAC；
（2）求证：AD·AF = BC·DF.

答案： 证明:
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.
∴∠ABD=∠FCA=120°.
∵BD·CF = BC²,
∴BD·CF = AB·AC.
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CF}$.
∴△ADB∽△FAC.
(2)由
(1)知△ADB∽△FAC,
∴∠DAB = ∠F.又
∵∠D = ∠D,
∴△ADB∽△FDA.
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AB}{AF}$.
∴AD·AF = AB·DF.
∴AD·AF = BC·DF.