《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

8.（教材P9习题T3变式）如图，在菱形ABCD中，AB = 5，AC = 6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）

A. $\frac{12}{5}$
B. $\frac{18}{5}$
C. 4
D. $\frac{24}{5}$

答案： D

9. 如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，有下列结论：①AD = BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE. 其中正确的是__________.(填序号）

答案： ①②③④

10. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC = 8，AB = 5，求DE的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵△EAC是等边三角形，
∴EA=EC.
∴EO⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:由
(1)知四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4,OB=OD.在Rt△AOB 中,OB=　$\sqrt{AB²−OA²}$=3.
∴OD=OB=3.
∵△EAC是等边三角形，
∴AE =AC=8.在Rt△AOE中,OE=　$\sqrt{AE²−OA²}$=4$\sqrt{3}$,
∴DE=OE−OD=4$\sqrt{3}$−3.

11.（2023 - 2024·贵阳期末）如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF = AB，连接BF，交AE于点O，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF = 8，AB = 5，求AE的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD.
∴∠BEA=∠DAE.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠BEA=∠BAE.
∴EB=AB.
∵AF=AB,
∴EB=AF.
∵EB//AF,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵EB=AB,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)解:
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF,OB=OF=$\frac{1}{2}$BF=4,OA=0E.
∴∠AOB=90°.
∴OA=＜$\sqrt{AB²−OB²}$=3.
∴AE=2OA=6.

12.（教材P8“做一做”变式）如图，两张宽为1 cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD.
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若∠BAD = 30°，求重叠部分的面积.

答案： 解:
(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:依题意,得AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE，AF,则AE=AF=1cm.
∵S▱ABCD=AE.CD=BC.AF,
∴CD=BC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)由
(1)得AE=AF=1cm,AD//BC.
∴∠ABF=∠BAD=30°.
∴AB=2AF=2cm.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2cm.
∴重叠部分的面积为BC.AF=2cm².