《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7. 如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相垂直，且$AC + BD = 10$. 设$AC = x(0 ＜ x ＜ 5)$.
（1）用含$x$的式子表示$S_{四边形ABCD}$；
（2）当四边形$ABCD$的面积为8时，求$AC$，$BD$的长.

答案： 解:
(1)$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}x(10 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+5x$.
(2)$\because$四边形$ABCD$的面积为$8$，$\therefore-\frac{1}{2}x^{2}+5x = 8$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=8$（不合题意，舍去），$\therefore AC = 2$. $\therefore BD = 10 - AC = 8$.

8. 小明设计了一个点做圆周运动的动画游戏，如图，甲、乙两点分别从直径的两端点$A$，$B$以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动. 甲运动的路程$l(\text{cm})$与时间$t(\text{s})$满足关系：$l=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t(t\geqslant0)$，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.
（1）甲运动4 s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，运动了多长时间？

答案： 解:
(1)当$t = 4$时，$l=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t = 8 + 6 = 14$（cm）. 答:甲运动$4$ s后的路程是$14$ cm.
(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为半圆，即$21$ cm，甲走过的路程为$(\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t)$ cm，乙走过的路程为$4t$ cm，则$\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t + 4t = 21$，解得$t_{1}=3$，$t_{2}=-14$（不合题意，舍去）. 答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时，运动了$3$ s.

9. 如图，四边形$ABCD$为矩形，AB = 6 cm，AD = 4 cm. 已知点$Q$从点$A$出发，沿$AD$以1 cm/s的速度向点$D$运动，点$P$从点$B$出发，沿$BA$以2 cm/s的速度向点$A$运动，已知$P$，$Q$两点分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止. 设运动的时间为$t$ s.
（1）当$t$为何值时，△PDQ的面积为6 cm²？
（2）是否存在实数$t$，使得△PDQ为等腰三角形？若存在，求出$t$值；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)根据题意，得$AQ = t$ cm，$BP = 2t$ cm，$0\leqslant t\leqslant3$. $\because$四边形$ABCD$为矩形，$AB = 6$ cm，$AD = 4$ cm，$\therefore DQ=(4 - t)$ cm，$AP=(6 - 2t)$ cm，$\angle A = 90^{\circ}$. $\therefore S_{\triangle PDQ}=\frac{1}{2}DQ\cdot AP=\frac{1}{2}(4 - t)(6 - 2t)=6$. 整理，得$t^{2}-7t + 6 = 0$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=6$. $\because0\leqslant t\leqslant3$，$\therefore t = 1$. $\therefore$当$t = 1$时，$\triangle PDQ$的面积为$6$ $cm^{2}$.
(2)不存在实数$t$，使得$\triangle PDQ$为等腰三角形. 理由如下：由
(1)知$DQ=(4 - t)$ cm，$AP=(6 - 2t)$ cm，$AQ = t$ cm，$\therefore PQ^{2}=AQ^{2}+AP^{2}=t^{2}+(6 - 2t)^{2}$. $\because\triangle PDQ$为钝角三角形，且为等腰三角形，$\therefore DQ = PQ$. $\therefore DQ^{2}=PQ^{2}$，即$(4 - t)^{2}=t^{2}+(6 - 2t)^{2}$. $\therefore t^{2}-4t + 5 = 0$. $\because\Delta=(-4)^{2}-4\times1\times5=-4＜0$，$\therefore$原方程没有实数根. $\therefore$不存在实数$t$，使得$\triangle PDQ$为等腰三角形.