《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

8. 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 30°，AC = 6，点D在AB上，连接CD. 若$\tan\angle DCB=\frac{2}{3}$，则BD的长为（ ）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 2$\sqrt{3}$

答案： A

9. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在AC上，∠DBC = ∠A. 若AC = 4，$\cos A=\frac{4}{5}$，则BD的长为（ ）

A. $\frac{9}{4}$
B. $\frac{12}{5}$
C. $\frac{15}{4}$
D. 4

答案： C

10.【注重分类讨论思想】在△ABC中，∠B = 30°，AB = $\sqrt{3}$，AC = 1，则∠ACB的度数为__________.

答案： 60°或120°

11. 暴雨过后，校园的两棵风景树同时侧倾在一起，如图，低树CD正好抵着高树AB的中点D. 救援人员想知道高树比低树高多少（即AB - CD的值），就通过测量得到了以下数据：BC = 10.5 m，∠B≈53°，∠C≈45°，取$\tan53^{\circ}\approx\frac{4}{3}$.
（1）设DE = 4x m，则用含x的代数式表示BE = ________m，CE = ________m. 由此列方程求解得x = ________；
（2）求高树比低树高多少米.（$\sqrt{2}$取1.4）

答案： 解:
(1)3x　4x　1.5
(2)由
(1),得BE = 4.5m,CE = 6m,DE = 6m,
∴BD = $\sqrt{DE^{2}+BE^{2}}$ = 7.5m,CD = $\sqrt{DE^{2}+CE^{2}}$ = 6$\sqrt{2}$≈8.4m.
∵D是AB的中点，
∴AB = 2BD = 15m.
∴AB - CD = 15 - 8.4 = 6.6(m).答:高树比低树高6.6m.

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是边AB的中点，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC = 30，$\sin\angle ABC=\frac{3}{5}$.
（1）求线段CD的长；
（2）求$\cos\angle BDE$的值.

答案： 解:
(1)在Rt△ABC中,AC = 30,sin∠ABC = $\frac{3}{5}$,
∴AB = $\frac{AC}{\sin\angle ABC}$ = 50.
∵D是边AB的中点，
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = 25.
(2)由勾股定理,得BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 40.
∵D是边AB的中点,∠ACB = 90°,
∴CD = BD = $\frac{1}{2}$AB = 25.
∴∠BCE = ∠ABC.
∴sin∠BCE = sin∠ABC = $\frac{3}{5}$.
∵BE⊥CD,
∴∠E = 90°.在Rt△BCE中,BC = 40,
∴BE = BC·sin∠BCE = 24.
∴DE = $\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$ = 7.
∴cos∠BDE = $\frac{DE}{BD}$ = $\frac{7}{25}$.

13. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D为边BC上一点，AB = 5，BD = 1，$\tan B=\frac{3}{4}$.
（1）求AD的长；
（2）求$\sin\alpha$的值.

答案： 解:
(1)
∵tanB = $\frac{3}{4}$,
∴可设AC = 3x,则BC = 4x.
∵AC² + BC² = AB²,
∴(3x)² + (4x)² = 5²,解得x = 1(负值已舍去).
∴AC = 3,BC = 4.
∵BD = 1,
∴CD = BC - BD = 3.在Rt△ACD中,AD = $\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}$ = 3$\sqrt{2}$.
(2)过点D作DE⊥AB于点E.
∵tanB = $\frac{3}{4}$,
∴可设DE = 3y,则BE = 4y.
∵DE² + BE² = BD²,
∴(3y)² + (4y)² = 1²,解得y = $\frac{1}{5}$(负值已舍去).
∴DE = $\frac{3}{5}$.
∴sinα = $\frac{DE}{AD}$ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$.