《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

9. 点M(cos30°,−sin30°)关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. ($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$)　　　　　　
　B. (−$\frac{\sqrt{3}}{2}$,−$\frac{1}{2}$)
C. (−$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$)　　　　　　
　D. (−$\frac{1}{2}$,−$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

答案： B

10. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO的长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值为____.

答案： $\frac{1}{2}$

11.（1）已知α,β为锐角,且满足|sinα−$\frac{1}{2}$|+$\sqrt{(\tan \beta - 1)^2}$=0,则α+β的度数为____;
（2）在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且|tanB−$\sqrt{3}$|+(2sinA−$\sqrt{3}$)²=0,则△ABC的形状为____三角形.

答案：
(1)75°　
(2)等边

12. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小刚同学发现:一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等.于是小刚同学提出一个问题:如图，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B,C,E在同一条直线上,若BC=2,求AF的长.请你运用所学的数学知识解答这个问题.

答案： 解:由题意，得点 $A,F,C$ 在同一条直线上。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$BC = 2$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，$\therefore AC=\frac{BC}{\tan A}=2\sqrt{3}$。$\therefore EF = AC = 2\sqrt{3}$。在 $Rt\triangle CEF$ 中，$\angle E = 45^{\circ}$，$\sin E=\frac{FC}{EF}$，$\therefore FC = EF\cdot\sin E=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$。$\therefore AF = AC - FC=2\sqrt{3}-\sqrt{6}$。

13.【注重数形结合思想】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如，在计算tan15°的值时,可构造如图所示的图形.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=x(x＞0),延长CB至点D,使得BD=AB,连接AD,易知∠D=15°,CD=BD+BC=AB+BC=2x+$\sqrt{3}$x,∴tan15°=tanD
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算过程;
（2）类比这种方法，画出图形,并计算tan22.5°的值.

答案：
解:
(1)由题意，得 $AC = x$，$CD = 2x+\sqrt{3}x$，$\therefore\tan15^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2 - \sqrt{3}$。
(2)如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，延长 $CB$ 到点 $D$，使得 $BD = AB$，连接 $AD$，易知 $\angle D = 22.5^{\circ}$。设 $AC = BC = x$，则 $BD = AB=\sqrt{2}x$。$\therefore CD = BC + BD = x+\sqrt{2}x$。$\therefore\tan22.5^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$。