《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）

A. 矩形的对角线相等
B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

答案： D

2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=55°，则∠OCD的度数为______．

答案： 35°

3. 如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若CE=2BE，AE=BE，AB=2，求AC的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC.
∵BE =DF,
∴AD−DF=BC−BE,即AF=EC.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
(2)解:
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=∠AEB=90°.
∴AE² + BE² = AB².
∵AE = BE，AB = 2，
∴AE = BE = √2.
∴CE = 2BE = 2√2.
∴AC = √(AE² + EC²) = √10.

4.（2023 - 2024·贵阳期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O. 过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，则菱形ABCD的面积是________.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠COD = 90°.
∵CE//OD,DE//OC,
∴四边形OCED是平行四边形.又
∵∠COD = 90°,
∴四边形OCED是矩形.
(2)解:4

5.（教材P19习题T2变式）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，且∠ABC+∠ADC=180°.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F. 若∠ADF：∠FDC=2：1，求∠BDF的度数.

答案：
(1)证明:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠ABC=∠ADC.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)解:由
(1)知∠ADC=90°,
∵∠ADF:∠FDC =2:1,
∴∠FDC=1/3∠ADC=30°.
∵DF⊥AC,
∴∠DEC=90°.
∴∠DCO=90°−∠FDC=60°.
∵∠ADC=90°,OA=OC,
∴OC=OD.
∴∠ODC=∠DCO=60°.
∴∠BDF=∠ODC−∠FDC=30°.