《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

当两点在对称轴同侧时，根据对称轴左右两边图象的增减性求取值范围；
当对称轴在两点中间时，观察图①②，当$a＞0$时，易得在$x =$____处取得最小值____，在离对称轴远的那一点上取得最____值；观察图③④，当$a＜0$时，易得在$x =$____处取得最大值____，在离对称轴远的那一点上取得最____值.

答案： h k 大 h k 小

1.已知$y = -x^2 - 2x - 2$，其中$x$为实数，则$y$的取值范围是 （ ）
A.$-1\leqslant y＜0$
B.$y＜0$
C.$y\leqslant -1$
D.全体实数

答案： 1. C

2.二次函数$y = -x^2 - 4x + c$的最大值为$0$，则$c$的值为 （ ）
A.$4$
B.$-4$
C.$-16$
D.$16$

答案： 2. B

3.已知二次函数$y = mx^2 + (m - 1)x + m - 1$的最小值为$0$，则$m$的值为____.

答案： 3. 1

4.已知二次函数$y = (x - 3)^2 - 1$，则当$1\leqslant x\leqslant4$时，该函数 （ ）
A.只有最大值$3$，无最小值
B.有最大值$3$，最小值$0$
C.有最小值$-1$，最大值$3$
D.只有最小值$-1$，无最大值

答案： 4. C

5.已知函数$y = x^2 - 2x + 3$，当$0\leqslant x\leqslant m$时，有最大值$3$，最小值$2$，则$m$的取值范围是 （ ）
A.$m\geqslant1$
B.$0\leqslant m\leqslant2$
C.$1\leqslant m\leqslant2$
D.$1\leqslant m\leqslant3$

答案： 5. C

【变式题1】开口方向确定，对称轴：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - h)^2$（$h$为常数），当自变量$x$的值满足$1\leqslant x\leqslant3$时，与其对应的函数值$y$的最大值为$-2$，则$h$的值为____.

答案： 【变式题 1】-1 或 5

【变式题2】对称轴确定，开口方向：确定→不确定，需要分类讨论
已知二次函数$y = mx^2 + 2mx + 1(m\neq0)$，当$-2\leqslant x\leqslant2$时，$y$有最小值$-4$，则$m$的值为____.

答案： 【变式题 2】5 或$-\frac{5}{8}$

6.已知二次函数$y = ax^2 + 4ax + 3a - 1$的图象开口向下.
(1)若$(m,-9)$，$(1,-9)$是该函数图象上不同的两点，求$m$的值；
(2)当$-4\leqslant x\leqslant4$时，函数的最大值与最小值的差为$6$，求$a$的值.

答案： 6. 解：
(1)
∵y = ax² + 4ax + 3a - 1 = a(x + 2)² - a - 1，
∴二次函数图象的对称轴为直线 x = - 2.
∵(m, - 9)，(1, - 9)是该函数图象上不同的两点，
∴$\frac{m + 1}{2}$ = - 2，解得 m = - 5.
(2)
∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线 x = - 2，
∴当 x = - 2 时，函数的最大值为 - a - 1；当 x = 4 时，函数的最小值为 36a - a - 1 = 35a - 1.
∵函数的最大值与最小值的差为 6，
∴ - a - 1 - (35a - 1) = 6，解得 a = -$\frac{1}{6}$.