《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 若$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个根，则$x_1 + x_2$的值是（ ）
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3

答案： A

2. 若方程$3x^2 - 4x = 4$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1x_2$的值是（ ）
A. $\frac{4}{3}$
B. $-\frac{4}{3}$
C. 3
D. -4

答案： B

3. 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1）$x^2 - 3 = -7x$；
$x_1 + x_2 =$______，$x_1x_2 =$______；
（2）$-2x^2 + 3 = 0$；
$x_1 + x_2 =$______，$x_1x_2 =$______；
（3）$3x(x - 2) = 5$.
$x_1 + x_2 =$______，$x_1x_2 =$______.

答案：
(1) -7 -3
(2) 0 $-\frac{3}{2}$
(3) 2 $-\frac{5}{3}$

4.（2023·宜昌中考）已知$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，则代数式$\frac{x_1 + x_2}{1 + x_1x_2}$的值为______.

答案： 1

5. 已知$x_1$，$x_2$是方程$x^2 + 6x + 3 = 0$的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2$；
（2）$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；
（3）$x_1^2 + x_2^2$.

答案： 解：$\because x_1,x_2$是方程$x^{2}+6x + 3 = 0$的两个实数根，$\therefore x_1 + x_2 = -6,x_1x_2 = 3$.
(1)$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2)=3 - 2\times(-6)=15$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}=\frac{-6}{3}=-2$.
(3)$x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=(-6)^{2}-2\times3 = 30$.

6. 已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 + 2ax + b = 0$的两根，且$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$，则$a$，$b$的值分别是（ ）
A. 3，1
B. 3，-1
C. $-\frac{3}{2}$，-1
D. $-\frac{3}{2}$，1

答案： D

7.（2023·衡阳中考）已知关于$x$的方程$x^2 + mx - 20 = 0$的一个根是 -4，则它的另一个根是______.

答案： 5

8. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - 2m = 0$的两个实数根之积为负数，则实数$m$的取值范围是________.

答案： $m＞\frac{1}{2}$

9. 若$\alpha$，$\beta$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$的两个实数根，且$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2}{3}$，则$m$的值为______.

答案： -3

10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k - 2 = 0$有实数根.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，若$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = -1$，求$k$的值.

答案： 解：
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$有实数根，$\therefore\Delta = 3^{2}-4\times1\times(k - 2)\geq0$. 解得$k\leq\frac{17}{4}$.
(2)$\because$方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = -3,x_1x_2 = k - 2$. $\because(x_1 + 1)(x_2 + 1)= -1$，$\therefore x_1x_2+(x_1 + x_2)+1 = -1$. $\therefore k - 2+(-3)+1 = -1$，解得$k = 3$.