《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

7. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，线段OE表示水平的路面. 以O为原点，OE所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 根据设计要求：OE = 10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. 现需在隧道内壁A，B处分别安装照明灯. 已知点A，B到OE的距离均为6m，则点A的坐标为________.

答案： $(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3},6)$

8.（2023.温州中考）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线. 当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m. 已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

答案： 解：
(1)$\because 8 - 6 = 2$，$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,3)$。设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + 3$。把$A(8,0)$代入，得$36a + 3 = 0$，解得$a = -\frac{1}{12}$。$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{12}(x - 2)^2 + 3$。当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{12}×4 + 3 = \frac{8}{3} ＞ 2.44$，$\therefore$球不能射进球门。
(2)设小明带球向正后方移动$m\ m$，则移动后的抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{12}(x - 2 - m)^2 + 3$。把$(0,2.25)$代入，得$2.25 = -\frac{1}{12}(0 - 2 - m)^2 + 3$，解得$m_1 = -5$(舍去)，$m_2 = 1$。$\therefore$当时他应该带球向正后方移动$1\ m$射门，才能让足球经过点$O$正上方$2.25\ m$处。

9.（2023.贵州中考）如图①，这是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC = 9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA = 3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其函数表达式为$y = -x^{2} + 2bx + b - 1(b＞0)$，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围.

答案：
解：
(1)设抛物线的函数表达式为$y = ax^2 + 9$。把$A(3,0)$代入，得$9a + 9 = 0$，解得$a = -1$。$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = -x^2 + 9$。
(2)如图，作点$A$关于$y$轴的对称点$A'(-3,0)$，连接$A'B$交$OC$于点$P$，则点$P$即为所求。把$x = 1$代入$y = -x^2 + 9$，得$y = 8$。$\therefore B(1,8)$。设直线$A'B$的函数表达式为$y = kx + m$。把$A'(-3,0)$，$B(1,8)$代入，得$\begin{cases}-3k + m = 0\\k + m = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 6\end{cases}$。$\therefore$直线$A'B$的函数表达式为$y = 2x + 6$。当$x = 0$时，$y = 6$，$\therefore$点$P$的坐标为$(0,6)$。

(3)$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$抛物线的开口向下。$\because$当$4\leqslant x\leqslant 6$时，函数$y$的值总大于等于$9$，$\therefore\begin{cases}-16 + 8b + b - 1\geqslant 9\\-36 + 12b + b - 1\geqslant 9\end{cases}$，解得$b\geqslant\frac{46}{13}$。$\therefore b$的取值范围是$b\geqslant\frac{46}{13}$。