《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

8.【注重情境化设题】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 （ ）
A. 测量两条对角线是否相等
B. 测量其中两个角是否是90°
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等

答案： C

9. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE = AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 （ ）

A. AB = BE
B. CE⊥DE
C. ∠ADB = 90°
D. BE⊥AB

答案： D

10.【半开放性试题】（2023·岳阳中考）如图，点M在□ABCD的边AD上，BM = CM. 有以下三个选项：①∠1 = ∠2；②AM = DM；③∠3 = ∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使□ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是________；（填序号）
（2）添加条件后，求证：□ABCD为矩形.

答案： 答案不唯一，如：
(1)解：①
(2)证明：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AB// DC$，$AB = DC$.$\therefore\angle A+\angle D = 180^{\circ}$.在$\triangle ABM$和$DCM$中，$\begin{cases}AB = DC,\\\angle1=\angle2,\\BM = CM,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABM\cong DCM(SAS)$.$\therefore\angle A=\angle D = 90^{\circ}$.$\therefore\square ABCD$为矩形.

11. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE//BF，连接BE，CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE = $\frac{1}{2}$BC，试判断四边形BFCE的形状，并证明你的结论.

答案：
(1)证明：$\because CE// BF$，$\therefore\angle BFD=\angle CED$.$\because D$是边$BC$的中点，$\therefore BD = CD$.$\because\angle BDF=\angle CDE$，$\therefore\triangle BDF\cong\triangle CDE(AAS)$.
(2)解：四边形$BFCE$是矩形.证明如下：由
(1)知$\triangle BDF\cong\triangle CDE$，$\therefore DF = DE=\frac{1}{2}EF$.又$\because BD = CD$，$\therefore$四边形$BFCE$是平行四边形.$\because DE=\frac{1}{2}BC$，$\therefore EF = BC$.$\therefore$四边形$BFCE$是矩形.

12.（2022·六盘水中考）如图，在□ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB = CD$，$\angle B=\angle D$，$AB// CD$.$\therefore\angle BAC=\angle ACD$.$\because AE$平分$\angle BAC$，$CF$平分$\angle ACD$，$\therefore\angle BAE=\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle DCF=\angle ACF=\frac{1}{2}\angle ACD$.$\therefore\angle BAE=\angle DCF$.在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle B=\angle D,\\AB = CD,\\\angle BAE=\angle DCF,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)$.
(2)解：当$\triangle ABC$满足$AB = AC$时，四边形$AECF$是矩形.证明如下：由
(1)可知$\angle CAE=\angle ACF$，$\therefore AE// CF$.$\because\triangle ABE\cong\triangle CDF$，$\therefore AE = CF$.$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形.$\because AB = AC$，$AE$平分$\angle BAC$，$\therefore AE\perp BC$.$\therefore\angle AEC = 90^{\circ}$.$\therefore$四边形$AECF$是矩形.