《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

10.（2023 - 2024·黔东南期中）已知关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+2x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是 （ ）
A. $m＜2$
B. $m\leqslant2$
C. $m＜2$且$m\neq1$
D. $m\leqslant2$且$m\neq1$

答案： D

[变式题]弱化条件：一元二次方程有实数根→方程有实数根
（易错题）关于$x$的方程$kx^{2}-4x + 4 = 0$有实数根，$k$的取值范围是 （ ）
A. $k＜1$且$k\neq0$
B. $k＜1$
C. $k\leqslant1$且$k\neq0$
D. $k\leqslant1$

答案： D

11.（2023 - 2024·六盘水钟山区期中）新概念运算：运算符号“$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，则关于$x$的二阶行列式$\begin{vmatrix}2&x\\(x - 2)&(x - 9)\end{vmatrix}=0$的根的情况为___________.

答案： 没有实数根

12. 用公式法解下列方程：
（1）$x(x - 2)-3x^{2} = -1$；
（2）$4x - 1 = 5x^{2}+x + 5$；
（3）$(x - 1)(1 + 2x) = 2$.

答案： 解：
(1)将原方程化为一般形式，得$2x^{2}+2x - 1 = 0$. 这里$a = 2$，$b = 2$，$c = -1$. $\because b^{2}-4ac = 2^{2}-4\times2\times(-1)=12＞0$，$\therefore x=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}$，即$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.
(2)将原方程化为一般形式，得$5x^{2}-3x + 6 = 0$. 这里$a = 5$，$b = -3$，$c = 6$. $\because b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\times5\times6=-111＜0$，$\therefore$原方程无实数根.
(3)将原方程化为一般形式，得$2x^{2}-x - 3 = 0$. 这里$a = 2$，$b = -1$，$c = -3$. $\because b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\times2\times(-3)=25＞0$，$\therefore x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{25}}{2\times2}=\frac{1\pm5}{4}$，即$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-1$.

13.（2023·杭州中考）设一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$，在下列关于$b,c$的四组值中选择其中一组，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①$b = 2$，$c = 1$；②$b = 3$，$c = 1$；
③$b = 3$，$c = -1$；④$b = 2$，$c = 2$.

答案： 解：$\because$使这个方程有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta = b^{2}-4c＞0$，即$b^{2}＞4c$. $\therefore$选择②③均可. 选择②，则这个方程为$x^{2}+3x + 1 = 0$，解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$. 选择③，则这个方程为$x^{2}+3x - 1 = 0$，解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$. (②③任选一个作答即可)

14. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$.
（1）求方程的根；（用含$m$的代数式表示）
（2）当$m$为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

答案： 解：
(1)根据题意，得$m\neq1$. 这里$a = m - 1$，$b = -2m$，$c = m + 1$. $\because b^{2}-4ac = (-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)=4＞0$，$\therefore x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m - 1)}=\frac{m\pm1}{m - 1}$. $\therefore x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}$，$x_{2}=1$.
(2)由
(1)，知$x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1}$，$x_{2}=1$. $\because$方程的两个根都为正整数，$\therefore\frac{2}{m - 1}$是正整数. $\therefore m - 1 = 1$或$m - 1 = 2$，解得$m = 2$或$3$. $\therefore$当$m$为$2$或$3$时，此方程的两个根都为正整数.