《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 对于任意实数$x$，多项式$x^{2}-5x + 7$的值是（ ）
A. 负数
B. 非正数
C. 正数
D. 无法确定正负

答案： C

2. 阅读下面的解答过程:
求$y^{2}+4y + 5$的最小值.
解:$y^{2}+4y + 5=(y + 2)^{2}+1$.
$\because(y + 2)^{2}\geqslant0$，
$\therefore(y + 2)^{2}+1\geqslant1$.
$\therefore y^{2}+4y + 5$的最小值为$1$.
仿照上面的解答过程，解答下列问题:
(1)求$m^{2}-2m + 2$的最小值;
(2)求$3 - x^{2}+2x$的最大值.

答案： 解：
(1)$m^{2}-2m + 2=m^{2}-2m + 1 + 1=(m - 1)^{2}+1$. $\because(m - 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore(m - 1)^{2}+1\geqslant1$. $\therefore m^{2}-2m + 2$的最小值为1.
(2)$3 - x^{2}+2x=-x^{2}+2x + 3=-(x^{2}-2x + 1)+4=-(x - 1)^{2}+4$. $\because(x - 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore-(x - 1)^{2}\leqslant0$. $\therefore-(x - 1)^{2}+4\leqslant4$. $\therefore3 - x^{2}+2x$的最大值为4.

3. 已知$a = 3x^{2}+36$，$b = 2x^{2}+10x$，试用配方法比较$a$与$b$的大小.
(点拨:作差比较大小时，若$a - b\gt0$，则$a\gt b$；若$a - b = 0$，则$a = b$；若$a - b\lt0$，则$a\lt b$)

答案： 解：$a - b=3x^{2}+36-(2x^{2}+10x)=x^{2}-10x + 36=(x - 5)^{2}+11$. $\because(x - 5)^{2}\geqslant0$，$\therefore(x - 5)^{2}+11＞0$. $\therefore a - b＞0$. $\therefore a＞b$.

4. 先阅读下面的内容，再解答问题.
例:若$m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$，求$m$，$n$的值.
解:$\because m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$，
$\therefore m^{2}+2mn + n^{2}+n^{2}-6n + 9 = 0$.
$\therefore(m + n)^{2}+(n - 3)^{2}=0$.
$\therefore m + n = 0$，$n - 3 = 0$，解得$m = - 3$，$n = 3$.
(1)若$x^{2}+2xy + 5y^{2}+4y + 1 = 0$，求$xy$的值;
(2)已知$a$，$b$，$c$是等腰三角形$ABC$的三边长，且$a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解：
(1)$\because x^{2}+2xy + 5y^{2}+4y + 1=0$，$\therefore x^{2}+2xy + y^{2}+4y^{2}+4y + 1=0$. $\therefore(x + y)^{2}+(2y + 1)^{2}=0$. $\therefore x + y=0$，$2y + 1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$. $\therefore xy=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$，$\therefore a^{2}-10a + 25+b^{2}-8b + 16=0$. $\therefore(a - 5)^{2}+(b - 4)^{2}=0$. $\therefore a - 5=0$，$b - 4=0$，解得$a=5$，$b = 4$. $\because\triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore c = 5$或4. 当$c = 5$时，$\triangle ABC$的周长为$5 + 5+4=14$；当$c = 4$时，$\triangle ABC$的周长为$5 + 4+4=13$. 综上所述，$\triangle ABC$的周长为14或13.

5. 运用配方法也可将多项式进行因式分解:
例如:$x^{2}+4x - 5=x^{2}+4x + 2^{2}-2^{2}-5=(x + 2)^{2}-9=(x + 2 + 3)(x + 2 - 3)=(x + 5)(x - 1)$.
仿照上述过程，将多项式$x^{2}-4xy + 3y^{2}$进行因式分解.

答案： 解：原式$=x^{2}-4xy + 4y^{2}-y^{2}=(x - 2y)^{2}-y^{2}=(x - 2y + y)(x - 2y - y)=(x - y)(x - 3y)$.