《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1.(教材P9习题T4变式)[一题多问]如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB，BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫做中点四边形.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图①，若四边形ABCD是正方形,则四边形EFGH的形状一定是__________;
(3)如图②,若四边形ABCD是矩形,AB = 3，AD = 4，则四边形EFGH的周长是______,面积是____;
(4)当四边形ABCD的对角线AC,BD满足条件______时,四边形EFGH是菱形;
(5)如图③,若AB=AD,BC=CD,求证:四边形EFGH是矩形.



方法总结:中点四边形的形状由原四边形的对角线之间的关系决定:
①任意四边形$\xrightarrow{中点四边形}$平行四边形;
②对角线相等的四边形(含等腰梯形)$\xrightarrow{中点四边形}$菱形;
③对角线互相垂直的四边形$\xrightarrow{中点四边形}$矩形;
④对角线互相垂直且相等的四边形$\xrightarrow{中点四边形}$正方形.
[变式题]本质不变，四点为四边形各边中点→一组对边及两条对角线的中点
如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，顺次连接E,F,G,H四点，得到四边形EFGH,则下列结论不正确的是(　　)

A.四边形EFGH一定是平行四边形
B.当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形
D.四边形EFGH可能是正方形

答案：
(1)证明：连接 $BD$. $\because E$，$H$ 分别是 $AB$，$DA$ 的中点，$\therefore EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线. $\therefore EH = \frac{1}{2}BD$，$EH// BD$. 同理，$FG = \frac{1}{2}BD$，$FG// BD$. $\therefore EH = FG$，$EH// FG$. $\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形.
(2)正方形
(3)10 6
(4)$AC = BD$
(5)证明：连接 $AC$，$BD$ 交于点 $O$. $\because E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，$\therefore EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线. $\therefore EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$. 同理，得 $HG// AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$. $\therefore EF// HG$，$EF = HG$. $\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形. $\because AB = AD$，$BC = CD$，$\therefore AC$ 是线段 $BD$ 的垂直平分线. $\therefore AC\perp BD$. $\because E$，$H$ 分别为 $AB$，$AD$ 的中点，$\therefore EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线. $\therefore EH// BD$. $\because EF// AC$，$\therefore EF\perp EH$，即 $\angle HEF = 90^{\circ}$. $\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是矩形.
@@C

[拓展练]如图，菱形ABCD的对角线长分别为a,b,以菱形ABCD各边中点为顶点作矩形A₁B₁C₁D₁,然后再以矩形A₁B₁C₁D₁各边中点为顶点作菱形A₂B₂C₂D₂……如此下去,则四边形A₂₀₂₄B₂₀₂₄C₂₀₂₄D₂₀₂₄的面积用含a,b的代数式表示为______.

答案： $\frac{ab}{2^{2025}}$