《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

折叠(轴对称)的性质回顾:
①折叠前后所得的对应线段________,对应角________，两个图形________;
②对应点之间的连线被折痕垂直平分，对称线段所在的直线与折痕的夹角相等.

答案： 相等 相等 全等

1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处. 若∠1 = ∠2 = 44°，则∠B的度数为（ ）

A. 136°
B. 144°
C. 108°
D. 114°

答案： 1. D

2. 如图，在菱形ABCD中，∠A = 120°，E是边AD上的点，沿BE折叠，使点A恰好落在BD上的点F处，则∠BFC的度数是______.

答案： 2. $75^{\circ}$

3. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC = 2∶1，则线段CH的长为______.

答案： 3. 4

4. (教材P28复习题T15变式)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于点E.
(1) 求证：△ABE≌△CFE；
(2) 求证：△AEC是等腰三角形；
(3) 若AB = 4，AD = 8，求AE的长.

答案： 4.
(1)证明：
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB = CD$，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$。由折叠的性质，得 $\angle F=\angle D=\angle B = 90^{\circ}$，$CF = CD = AB$。
∵ $\angle AEB=\angle CEF$，
∴ $\triangle ABE\cong\triangle CFE(AAS)$。
(2)证明：
∵ $\triangle ABE\cong\triangle CFE$，
∴ $AE = CE$。
∴ $\triangle AEC$ 是等腰三角形。
(3)解：设 $CE = AE = x$。
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $BC = AD = 8$。
∴ $BE = 8 - x$。在 $Rt\triangle ABE$ 中，$BE^{2}+AB^{2}=AE^{2}$，
∴ $(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$，解得 $x = 5$。
∴ $AE = 5$。

5. 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°,30°,15°等大小的角，就可以采用下面的方法:
第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,如图①所示;
第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时，得到了线段BN,如图②所示.
(1) 求∠NBC的度数;
(2) 通过上述折纸操作,还得到了一些不同角度的角,请写出除∠NBC以外的两个角,并求它们的度数;
(3) 请你继续折出15°大小的角,说出折纸步骤及得到的15°角.

答案：
5. 解：
(1)连接 $AN$。由折叠的性质，得 $AB = NB$，$EF$ 垂直平分 $AB$。
∴ $NA = NB$。
∴ $AB = NA = NB$。
∴ $\triangle ABN$ 为等边三角形。
∴ $\angle ABN = 60^{\circ}$。
∵四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴ $\angle ABC=\angle BAD = 90^{\circ}$。
∴ $\angle NBC=\angle ABC-\angle ABN = 30^{\circ}$。
(2)由折叠可知 $\angle ABM=\angle NBM=\frac{1}{2}\angle ABN = 30^{\circ}$。
∵ $\angle BAD = 90^{\circ}$，
∴ $\angle AMB = 90^{\circ}-\angle ABM = 60^{\circ}$。(答案不唯一)
(3)如图，再一次折叠矩形纸片，使点 $A$ 落在 $BM$ 上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $BH$，则 $\angle ABH = 15^{\circ}$。