《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1.（黔西南期末）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直
B. 对角线互相平分
C. 对角线相等
D. 四个角都是直角

答案： A

2. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上. 若CE = 1，DE = 2，则AD的长为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. 3
D. 5

答案： A

3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： B

4.（2023 - 2024·六盘水期中）如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点坐标分别是（-2，2），（1，-1），则点B的坐标是（ ）

A.（-1，-2）
B.（-1，-3）
C.（-2，-1）
D.（-3，-1）

答案： C

5.（2023·怀化中考）如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE = 3，则点P到直线AB的距离为____.

答案： 3

6. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE = AC，则∠BCE的度数是_______.

答案： 22.5°

7. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G. 求证：CE = BF.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠A=∠CBE=90°.
∴∠ABF+∠CBG=90°.又
∵BF⊥CE,
∴∠BGC=90°.
∴∠BCE+∠CBG=90°.
∴∠BCE = ∠ABF.在△BCE和△ABF中，$\begin{cases} \angle BCE=\angle ABF, \\ BC = AB, \\ \angle CBE=\angle A, \end{cases}$
∴ △BCE≌△ABF(ASA).
∴ CE = BF.

8. 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.
（1）求证：AE = CF；
（2）已知□ABCD的面积为20，AB = 5，求CF的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形BEDF为正方形，
∴DF=EB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC.
∴AB−EB=DC−DF,即AE=CF.
(2)解:
∵四边形BEDF为正方形，
∴DE=EB,DE⊥EB.
∵S□ABCD=AB·DE=20,
∴5DE=20.
∴DE=4.
∴EB=4.
∴AE=AB−EB=5−4=1.由
(1)知AE =CF,
∴CF=1.