《2025年精英新课堂九年级数学全一册北师大版贵州专版》

1. 如图，用三角支架固定空调外机，已知$OA\perp AB$，$\angle AOB = \alpha$，$BO = 0.4\ m$，则点$O$到墙面的距离$OA$为（ ）

A. $0.4\sin\alpha\ m$
B. $0.4\cos\alpha\ m$
C. $\frac{0.4}{\sin\alpha}\ m$
D. $\frac{0.4}{\cos\alpha}\ m$

答案： B

2.（2023·岳阳中考）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事. 如图，某校数学兴趣小组在$A$处用仪器测得赛场一宣传气球顶部$E$处的仰角为$21.8^{\circ}$，仪器与气球的水平距离$BC$为$20\ m$，且距地面高度$AB$为$1.5\ m$，则气球顶部离地面的高度$EC$约为______$m$.（结果精确到$0.1\ m$，参考数据：$\sin21.8^{\circ}\approx0.3714$，$\cos21.8^{\circ}\approx0.9285$，$\tan21.8^{\circ}\approx0.4000$）

答案： 9.5

3. 如图，建筑物$CD$和旗杆$AB$的水平距离$BD$为$9\ m$. 在建筑物的顶端$C$测得旗杆顶部$A$的仰角$\alpha$为$30^{\circ}$，旗杆底部$B$的俯角$\beta$为$45^{\circ}$，则旗杆$AB$的高度为（ ）

A. $3\sqrt{2}\ m$
B. $3\sqrt{3}\ m$
C. $(3\sqrt{2}+9)m$
D. $(3\sqrt{3}+9)m$

答案： D

4.（2023·郴州中考）某次军事演习中，一艘船以$40\ km/h$的速度向正东方向航行，在出发地$A$测得小岛$C$在它的北偏东$60^{\circ}$方向，$2\ h$后到达$B$处，此时，测得小岛$C$在它的北偏西$45^{\circ}$方向，求该船在航行过程中与小岛$C$的最近距离.（结果精确到$0.1\ km$，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）

答案： 解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC = ∠BDC = 90°. 由题意，得AB = 40×2 = 80(km)，∠CAD = 90° - 60° = 30°，∠CBD = 90° - 45° = 45°，
∴AD = $\frac{CD}{\tan\angle CAD}=\sqrt{3}CD$，BD = CD.
∵AB = AD + BD = 80 km，
∴$\sqrt{3}CD + CD = 80$.
∴CD≈29.3 km. 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.3 km.

5.（2023·日照中考）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务. 数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图，在点$B$处测得灯塔最高点$A$的仰角$\angle ABD = 45^{\circ}$，再沿$BD$方向前进至$C$处测得灯塔最高点$A$的仰角$\angle ACD = 60^{\circ}$，$BC = 15.3\ m$，则灯塔的高度$AD$大约是（结果精确到$1\ m$，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）（ ）

A. $31\ m$
B. $36\ m$
C. $42\ m$
D. $53\ m$

答案： B

6.（2023·泰州中考）如图，堤坝$AB$长为$10\ m$，坡度$i$为$1:0.75$，底端$A$在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶$D$处立有高$20\ m$的铁塔$CD$. 小明欲测量山高$DE$，他在$A$处看到铁塔顶端$C$刚好在视线$AB$上，又在坝顶$B$处测得塔底$D$的仰角$\alpha$为$26^{\circ}35'$. 求堤坝高及山高$DE$.（小明身高忽略不计，结果精确到$1\ m$，参考数据：$\sin26^{\circ}35'\approx0.45$，$\cos26^{\circ}35'\approx0.89$，$\tan26^{\circ}35'\approx0.50$）

答案： 解：过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，则EF = BH，BF = EH.
∵堤坝AB的坡度i为1 : 0.75，
∴设AH = 3x m，则BH = 4x m.
∴在Rt△ABH中，AB = $\sqrt{AH^{2}+BH^{2}} = 5x$ m.
∵AB = 10 m，
∴5x = 10，
解得x = 2.
∴AH = 6 m，BH = 8 m.
∴EF = BH = 8 m. 设DF = a m. 在
Rt△BFD中，∠DBF = 26°35′，
∴BF = $\frac{DF}{\tan\angle DBF}\approx2a$ m.
∴EH = BF = 2a m.
∴AE = AH + EH = (6 + 2a)m.
∵A，B，C三点共线，
∴CE : AE = (20 + a + 8) : (6 + 2a)=1 : 0.75，解得a = 12.
∴DF = 12 m.
∴DE = DF + EF = 20 m. 答：堤坝高为8 m，山高DE约为20 m.