《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

8. (14分)如图，一块三角形模具的部分已破损。只要从残留的模具中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A'B'C'？请作出模具△A'B'C'的图形，并简要说明理由。

答案：
只要度量AC，BC的长和∠ACB的度数，就可加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具 如图，①作∠EC'F = ∠ACB；②在C'E，C'F上分别截取C'A' = CA，C'B' = CB；③连接A'B'。△A'B'C'即为所求 理由：在△A'B'C'和△ABC中，因为$\begin{cases}C'A' = CA,\\\angle A'C'B' = \angle ACB,\\C'B' = CB,\end{cases}$所以△A'B'C' ≌ △ABC（SAS）。所以△A'B'C'和△ABC的形状和大小完全相同。

9. (14分)如图，AB = AE，AB//DE，∠ECB = 70°，∠D = 110°，试说明:△ABC≌△EAD.

答案： 因为∠ECB = 70°，所以∠ACB = 180° - ∠ECB = 110°。所以∠ACB = ∠D = 110°。因为AB//DE，所以∠CAB = ∠E。在△ABC和△EAD中，因为$\begin{cases}\angle ACB = \angle D,\\\angle CAB = \angle E,\\AB = EA,\end{cases}$所以△ABC≌△EAD（AAS）

10. ★★(20分)如图，在长方形ABCD中，∠DAB = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = DC = 12 cm，AD = BC = 16 cm，点E在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点F在线段CD上由点C向点D运动。设运动的时间为t s。
(1) EC = ________cm(用含t的代数式表示)。
(2) 若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当t = 2时，判断线段AE和EF的数量关系和位置关系，并说明理由。
(3) 若点F的运动速度为v cm/s，是否存在v的值，使得△ABE与△ECF全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由。

答案： （1）（16 - 2t）（2）AE = EF，AE⊥EF 理由：由题意可知，当t = 2时，BE = CF = 2×2 = 4（cm），所以EC = 16 - 4 = 12（cm）。所以AB = EC。在△ABE和△ECF中，因为$\begin{cases}AB = EC,\\\angle B = \angle C,\\BE = CF,\end{cases}$所以△ABE≌△ECF（SAS）。所以AE = EF，∠BAE = ∠CEF。因为∠B = 90°，所以∠BAE + ∠BEA = 90°。所以∠CEF + ∠BEA = 90°。所以∠AEF = 180° - （∠CEF + ∠BEA） = 90°。所以AE⊥EF。（3）存在 因为∠B = ∠C = 90°，所以B，C是对应顶点。所以分两种情况讨论：①当△ABE ≌ △ECF时，由（2）得v = 2。②当△ABE≌△FCE时，BE = EC = 2t cm，CF = AB = 12 cm，所以2t = 16 - 2t，解得t = 4。所以CF = 4v cm。所以4v = 12，解得v = 3。综上所述，存在v的值，使得△ABE与△ECF全等，v的值为2或3