《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

11. (20分)计算：
(1)2(x - y)²-(2x + 6y)(x - 3y)；
(2)(2x + y)(2x - y)-(2x - y)²；
(3)(2x - y - $\frac{1}{2}$)(2x - y + $\frac{1}{2}$)；
(4)(x + 2y - 3)(x - 2y + 3).

答案： （1）$2(x - y)^{2}-(2x + 6y)(x - 3y)=2(x^{2}-2xy + y^{2})-2(x + 3y)(x - 3y)=2x^{2}-4xy + 2y^{2}-2x^{2}+18y^{2}=-4xy + 20y^{2}$
（2）$(2x + y)(2x - y)-(2x - y)^{2}=4x^{2}-y^{2}-(4x^{2}-4xy + y^{2})=4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+4xy - y^{2}=4xy - 2y^{2}$ （3）$(2x - y-\frac{1}{2})(2x - y+\frac{1}{2})=(2x - y)^{2}-(\frac{1}{2})^{2}=4x^{2}-4xy + y^{2}-\frac{1}{4}$ （4）$(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)=[x+(2y - 3)][x-(2y - 3)]=x^{2}-(2y - 3)^{2}=x^{2}-(4y^{2}-12y + 9)=x^{2}-4y^{2}+12y - 9$ 

12. ★(10分)观察下列算式：① 1×3 - 2²=3 - 4 = -1；② 2×4 - 3²=8 - 9 = -1；③ 3×5 - 4²=15 - 16 = -1；….
(1)请你按以上规律写出算式④.
(2)把这个规律用含n(n为正整数)的代数式表示出来.
(3)你认为(2)中所写的代数式一定成立吗？请说明理由.

答案： （1）$4×6 - 5^{2}=24 - 25=-1$ （2）$n(n + 2)-(n + 1)^{2}=-1$
（3）一定成立 理由：因为 $n(n + 2)-(n + 1)^{2}=n^{2}+2n-(n^{2}+2n + 1)=n^{2}+2n - n^{2}-2n - 1=-1$，所以 $n(n + 2)-(n + 1)^{2}=-1$ 一定成立.

13. ★★(13分)用几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个大正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，可以得到一个等式. 例如：计算图①的面积，把图①看作一个大正方形，它的面积是(a + b)²；如果把图①看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为a²+2ab + b²，由此得到(a + b)²=a²+2ab + b².
(1)如图②，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a + b + c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为____________________.
(2)利用(1)中的结论解决下面的问题：
已知a + b + c = 10，ab + ac + bc = 37，求a²+b²+c²的值.
　　　　

答案： （1）$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$ （2）因为 a + b + c = 10，ab + ac + bc = 37，$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$，所以 100 = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+37×2$，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=26$