《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

8. (12分)∠α和线段a如图所示，用尺规作△ABC，使AB=a，∠CAB=2∠α，∠CBA=∠α(不写作法，保留作图痕迹).
　　　　　　

答案：
如图，$\triangle ABC$ 即为所求

9. (14分)如图，AB=AE，AB//DE，∠DAB=70°，∠E=40°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠B=30°，试说明：AD=BC.
　　　　　　　

答案：
(1) 因为 $AB// DE$，所以 $\angle EAB=\angle E = 40^{\circ}$. 因为 $\angle DAB = 70^{\circ}$，所以 $\angle DAE = 30^{\circ}$.
(2) 在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BCA$ 中，因为 $\angle DAE=\angle B = 30^{\circ}$，$AE = BA$，$\angle E=\angle EAB$，所以 $\triangle ADE\cong\triangle BCA$（ASA），所以 $AD = BC$.

10. ★(18分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE//BC交BD的延长线于点E.
(1)若∠BAC=40°，求∠E的度数；
(2)若F是DE上的一点，且AF=AD，判断BD与EF的数量关系，并说明理由.
　　　　　　

答案：
(1) 因为 $AB = AC$，所以 $\angle ABC=\angle ACB$. 因为 $\angle BAC = 40^{\circ}$，所以 $\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=70^{\circ}$. 因为 $BD$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC = 35^{\circ}$. 因为 $AE// BC$，所以 $\angle E=\angle CBD = 35^{\circ}$.
(2) $BD = EF$ 理由：因为 $BD$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle CBD=\angle ABD$. 因为 $AE// BC$，所以 $\angle E=\angle CBD$. 所以 $\angle ABD=\angle E$. 因为 $AF = AD$，所以 $\angle ADF=\angle AFD$. 因为 $\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ADF$，$\angle AFE = 180^{\circ}-\angle AFD$，所以 $\angle ADB=\angle AFE$. 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle AEF$ 中，因为 $\begin{cases}\angle ADB=\angle AFE,\\\angle ABD=\angle E,\\AD = AF,\end{cases}$ 所以 $\triangle ABD\cong\triangle AEF$（AAS），所以 $BD = EF$.