《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

8. (12分)如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O.
(1)图中有哪几个直角三角形？
(2)图中有与∠2相等的角吗？请说明理由.
(3)若∠4 = 55°，∠ACB = 65°，求∠3，∠5的度数.

答案：
(1)$\triangle BOE,\triangle BCE,\triangle ACE,\triangle BCD,\triangle COD,\triangle ABD$
(2)与∠2相等的角是∠1　理由:因为BD,CE是△ABC的高，所以∠1+∠A = 90°，∠2+∠A = 90°. 所以∠1 = ∠2.　
(3)因为∠ACB = 65°，BD是△ABC的高，所以∠3 = 90° - ∠ACB = 90° - 65° = 25°. 在△BOC中，∠BOC = 180° - ∠3 - ∠4 = 180° - 25° - 55° = 100°，所以∠5 = ∠BOC = 100°

9. (14分)如图，BD，CE是△ABC的角平分线，其交点为O，OF⊥BC于点F. 试说明：∠BOF = ∠BEC - $\frac{1}{2}$∠A.

答案： 因为OF⊥BC，所以∠OFB = 90°. 所以∠BOF = 90° - ∠OBF. 因为BD,CE是△ABC的角平分线，所以$∠OBF=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$. 所以$∠BOF = 90°-\frac{1}{2}∠ABC$. 因为∠AEC = 180° - ∠A - ∠ACE = 180° - ∠A - $\frac{1}{2}∠ACB$，所以∠BEC = 180° - ∠AEC = 180° - $(180° - ∠A - \frac{1}{2}∠ACB)$ = ∠A + $\frac{1}{2}∠ACB$. 所以$∠BEC-\frac{1}{2}∠A = ∠A+\frac{1}{2}∠ACB-\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}(∠A + ∠ACB)$. 因为∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，所以$∠BEC-\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{2}(180° - ∠ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ABC$. 所以$∠BOF = ∠BEC-\frac{1}{2}∠A$

10. ★★(18分)如图，在△ABC中，∠BCA = 90°，BC = 6 cm，AC = 8 cm，AB = 10 cm，CD为△ABC的高.
(1)求△ABC的面积和CD的长.
(2)若点P从点A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C运动，到点C时停止运动. 设运动时间为t s，当t为何值时，△PAC的面积为6 cm²？

答案：
(1)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24(cm^{2})$. 又因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，所以$CD=\frac{2\times24}{10}=4.8(cm)$　
(2)分两种情况:①当点P在AB边上运动时，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AP\cdot CD$，所以$AP=\frac{2\times6}{4.8}=2.5(cm)$. 所以t = 2.5÷1 = 2.5. ②当点P在BC边上运动时，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}CP\cdot AC$ ，所以$CP=\frac{2\times6}{8}=1.5(cm)$. 所以t = [10 + (6 - 1.5)]÷1 = 14.5. 综上所述，当t的值为2.5或14.5时，△PAC的面积为6 $cm^{2}$