《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

12. ★(11分)
(1)已知$3x + 5y - 3 = 0$，求$8^{x}\cdot 32^{y}$的值；
(2)若$2^{2}\cdot 16^{n}=(2^{2})^{9}$，解关于$x$的方程$nx + 4 = 2$.

答案：
(1)因为$3x + 5y - 3 =0$，所以$3x + 5y =3$.所以$8^x\cdot32^y=(2^3)^x\cdot(2^5)^y = 2^{3x}\cdot2^{5y}=2^{3x + 5y}=2^3=8$.
(2)由题意，得$2\cdot(2^4)^n=2^{18}$，所以$2^{1 + 4n}=2^{18}$，即$1 + 4n = 18$，解得$n = 4$.把$n = 4$代入方程$n\cdot x + 4 = 2$，得$4\cdot x + 4 = 2$，解得$x = -\frac{1}{2}$.

13. ★★(12分)阅读下面的材料:
材料一：比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解：因为$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，且$3＞2$，所以$3^{22}＞2^{22}$，即$3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解：因为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，且$8＞6$，所以$2^{8}＞2^{6}$，即$2^{8}＞8^{2}$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
解决下列问题:
(1)比较$3^{44}$，$4^{33}$，$6^{22}$的大小；
(2)比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
(3)比较$4^{12}\times5^{10}$与$4^{10}\times5^{12}$的大小.

答案：
(1)因为$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，$6^{22}=(6^2)^{11}=36^{11}$，$81＞64＞36$，所以$81^{11}＞64^{11}＞36^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞6^{22}$.
(2)因为$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，$124＞123＞122$，所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$.
(3)因为$4^{12}×5^{10}=4^{10}×5^{10}×4^2$，$4^{10}×5^{12}=4^{10}×5^{10}×5^2$，又因为$4^2＜5^2$，所以$4^{12}×5^{10}＜4^{10}×5^{12}$.