《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

7. ★将积的乘方的性质反过来，可以得到$a^{n}\cdot b^{n}=$________，试利用这个性质计算：
(1) $(\frac{4}{7})^{4}\times(-1\frac{3}{4})^{4}$；
(2) $-0.5^{2034}\times(-\frac{4}{3})^{2035}\times(\frac{3}{2})^{2035}$.

答案： $(ab)^n$ （1）$(\frac{4}{7})^4\times(-1\frac{3}{4})^4=(\frac{4}{7})^4\times(-\frac{7}{4})^4=(\frac{4}{7}\times\frac{7}{4})^4=1^4 = 1$ （2）$-0.5^{2023}\times(-\frac{4}{3})^{2023}\times(\frac{3}{2})^{2023}=(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{3}{2})^{2023}=1^{2023}=1$

8. 若$2\times8^{x}\times16^{x}=2^{22}$，则$x$的值为________.

答案： 3 解析：因为$2\times8^{x}\times16^{x}=2\times(2^{3})^{x}\times(2^{4})^{x}=2\times2^{3x}\times2^{4x}=2^{1 + 3x + 4x}=2^{7x + 1}=2^{22}$，所以$7x + 1 = 22$，所以$x = 3$。

9. ★若$2a - 3b + c - 2 = 0$，求$16^{a}\div8^{2b}\times4^{c}$的值.

答案： 因为$2a - 3b + c - 2 = 0$，所以$2a - 3b + c = 2$。所以$16^{a}\div8^{b}\times4^{c}=(4^{2})^{a}\div(2^{3})^{b}\times4^{c}=4^{2a}\div4^{\frac{3b}{2}}\times4^{c}=4^{2a - \frac{3b}{2} + c}=4^{2}=16$

10. 已知$a = 2^{12}$，$b = 3^{8}$，$c = 5^{4}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是________（用“＜”连接）.

答案： $c ＜ a ＜ b$ 解析：因为$a = 2^{12}=(2^{3})^{4}=8^{4}$，$b = 3^{8}=(3^{2})^{4}=9^{4}$，$c = 5^{4}$，而$5^{4}＜8^{4}＜9^{4}$，所以$c ＜ a ＜ b$。

11. ★★阅读下面比较$2^{100}$与$3^{75}$大小的解题过程：
解：因为$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，$16＜27$，所以$16^{25}＜27^{25}$，即$2^{100}＜3^{75}$.
请根据上面的解题过程，解答下面的问题：
(1) 已知$a = 3^{55}$，$b = 4^{44}$，$c = 5^{33}$，比较$a$，$b$，$c$的大小；
(2) 比较$17^{14}$与$31^{11}$的大小.

答案： （1）因为$a = 3^{55}=(3^{5})^{11}=243^{11}$，$b = 4^{44}=(4^{4})^{11}=256^{11}$，$c = 5^{33}=(5^{3})^{11}=125^{11}$，$256 ＞ 243 ＞ 125$，所以$256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$，所以$b ＞ a ＞ c$ （2）因为$17^{14}＞16^{14}$，$16^{14}=(2^{4})^{14}=2^{56}$，所以$17^{14}＞2^{56}$。因为$2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，$32 ＞ 31$，所以$2^{55}＞31^{11}$，所以$17^{14}＞31^{11}$