《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

1. 已知$4^{m}=a$，$8^{n}=b$，其中$m$，$n$为正整数，则$2^{2m + 6n}$等于（ ）
A. $ab^{2}$
B. $a + b^{2}$
C. $a^{2}b^{3}$
D. $a^{2}+b^{3}$

答案： A 解析：因为$4^{m}=a$，$8^{n}=b$，所以$2^{2m + 6n}=2^{2m}\times2^{6n}=(2^{2})^{m}\cdot(2^{3})^{2n}=4^{m}\cdot8^{2n}=4^{m}\cdot(8^{n})^{2}=ab^{2}$。

2. 如果$a^{c}=b$，那么我们规定$(a,b)=c$. 例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$. 若$(3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,m)=2a + b$，则$m =$________.

答案： 150 解析：根据新规定的运算可得，$3^{a}=5$，$3^{b}=6$，$m = 3^{2a + b}$，所以$m = 3^{2a + b}=(3^{a})^{2}\cdot3^{b}=25\times6 = 150$。

3. 已知$a^{m}=64$，$a^{n}=16$，求$a^{3m - 4n}$的值.

答案： $a^{3m - 4n}=a^{3m}\div a^{4n}=(a^{m})^{3}\div(a^{n})^{4}=4^{3}\div16 = (2^{6})^{3}\div(2^{4})^{4}=2^{18}\div2^{16}=2^{2}=4$

4. 已知$x^{2}=m$，$x^{3}=n$，请你用含$m$，$n$的代数式表示$x^{11}$.

答案： 因为$x^{2}=m$，$x^{3}=n$，所以$x^{11}=x^{2}\cdot(x^{3})^{3}=mn^3$或$x^{11}=(x^{2})^{4}\cdot x^{3}=m^{4}n$

5. ★化简：$3^{100}\times8^{102}\times(\frac{1}{4})^{103}$.

答案： $3^{100}\times8^{102}\times(\frac{1}{4})^{103}=3^{100}\times(2^{3})^{102}\times(\frac{1}{2^{2}})^{103}=3^{100}\times2^{306}\times2^{-206}=3^{100}\times2^{100}=(3\times2)^{100}=6^{100}$

6. ★(1) 已知$2^{m}=a$，$32^{n}=b$，$m$，$n$为正整数，求$2^{3m + 10n}$的值；
(2) 已知$a^{m}=10$，$b^{m}=4$，求$(a^{3}b^{4})^{m}$的值.

答案： （1）因为$2^{m}=a$，$32^{n}=b$，所以$2^{m}=a$，$2^{5n}=b$。所以$2^{3m + 10n}=(2^{m})^{3}\times(2^{5n})^{2}=a^{3}b^{2}$ （2）因为$a^{m}=10$，$b^{m}=4$，所以$(a^{3}b^{4})^{m}=(a^{3})^{m}\cdot(b^{4})^{m}=a^{3m}\cdot b^{4m}=(a^{m})^{3}\cdot(b^{m})^{4}=10^{3}\times4^{4}=1000\times256 = 256000$