《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

11. (11分)某探测器安全降落在土卫六的表面,开始对土卫六进行实地勘测,同时也结束了它长达7年的星际旅行.该探测器从地球飞往土卫六的平均速度大约为$1.67\times10^{4}\ m/s$,若每年按$3\times10^{7}\ s$计算,则该探测器的这次星际旅行所行的路程是多少米(结果用科学记数法表示)?

答案： $1.67×10^{4}×3×10^{7}×7 = 3.507×10^{12}(m)$

12. ★(12分)规定:$x*y = 3^{x}\cdot 3^{y}$.
　　　　(1)求$2*5$的值;
　　　　(2)若$1*(4x - 3)=81$,求$x$的值;
　　　　(3)判断$x*(y + z)$与$(x + y)*z$是否相等,并说明理由.

答案：
(1) 因为$x*y = 3^{x}\cdot3^{y}$，所以$2*5 = 3^{2}\cdot3^{5}=3^{7}=2187$
(2) 因为$1*(4x - 3)=81$，所以$3^{1}\cdot3^{4x - 3}=3^{4}$。所以$4x - 2 = 4$，解得$x=\frac{3}{2}$
(3) $x*(y + z)=(x + y)*z$ 理由：因为$x*(y + z)=3^{x}\cdot3^{y + z}=3^{x + y + z}$，$(x + y)*z=3^{x + y}\cdot3^{z}=3^{x + y + z}$，所以$x*(y + z)=(x + y)*z$。

13. ★★(12分)记$M_{(1)}=-2$,$M_{(2)}=(-2)\times(-2)$,$M_{(3)}=(-2)\times(-2)\times(-2)$,$\cdots$,$M_{(n)}=\underbrace{(-2)\times(-2)\times\cdots\times(-2)}_{n个 - 2相乘}$.
　　　　(1)计算:$M_{(5)}+M_{(6)}$;
　　　　(2)求$2M_{(2035)}+M_{(2036)}$的值;
　　　　(3)说明$2M_{(n)}$与$M_{(n + 1)}$互为相反数.

答案：
(1) $M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^{5}+(-2)^{6}=-32 + 64 = 32$
(2) $2M_{(2035)}+M_{(2036)}=2×(-2)^{2035}+(-2)^{2036}=-(-2)×(-2)^{2035}+(-2)^{2036}=-(-2)^{2036}+(-2)^{2036}=0$
(3) $2M_{(n)}+M_{(n + 1)}=-(-2)×(-2)^{n}+(-2)^{n + 1}=-(-2)^{n + 1}+(-2)^{n + 1}=0$，所以$2M_{(n)}$与$M_{(n + 1)}$互为相反数