《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

5. ★如图，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AC=AF，EC与AB，BF分别相交于点D，M.
　　　(1)EC与BF有什么数量关系？请说明理由.
　　　(2)EC与BF有什么位置关系？请说明理由.
　　　　　　　　

答案： （1）$EC = BF$ 理由：因为 $AE\perp AB$，$AF\perp AC$，所以 $\angle BAE = \angle CAF = 90^{\circ}$。所以 $\angle BAE + \angle BAC = \angle CAF + \angle BAC$，即 $\angle EAC = \angle BAF$。在 $\triangle AEC$ 和 $\triangle ABF$ 中，因为 $\begin{cases}AE = AB\\\angle EAC = \angle BAF\\AC = AF\end{cases}$，所以 $\triangle AEC\cong\triangle ABF$（SAS）。所以 $EC = BF$。
（2）$EC\perp BF$ 理由：由（1），知 $\triangle AEC\cong\triangle ABF$，所以 $\angle AEC = \angle ABF$。因为 $\angle BAE = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEC + \angle ADE = 90^{\circ}$。因为 $\angle ADE = \angle BDM$，所以 $\angle ABF + \angle BDM = 90^{\circ}$。在 $\triangle BDM$ 中，$\angle BMD = 180^{\circ}-(\angle ABF + \angle BDM)=90^{\circ}$，所以 $EC\perp BF$。

6. ★★
　　　(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，△ADB和△CEA全等吗？请说明理由.
　　　(2)如图②，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，试说明：DE=BD+CE.
　　

答案： （1）$\triangle ADB\cong\triangle CEA$ 理由：因为 $BD\perp m$，$CE\perp m$，所以 $\angle BDA = \angle AEC = 90^{\circ}$。所以 $\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}$。因为 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}$。所以 $\angle ABD = \angle CAE$。在 $\triangle ADB$ 和 $\triangle CEA$ 中，因为 $\begin{cases}\angle ABD = \angle CAE\\\angle BDA = \angle AEC\\AB = CA\end{cases}$，所以 $\triangle ADB\cong\triangle CEA$（AAS）。 （2）设 $\angle BDA = \angle BAC = \alpha$，所以 $\angle ABD + \angle BAD = \angle BAD + \angle CAE = 180^{\circ}-\alpha$。所以 $\angle ABD = \angle CAE$。在 $\triangle ADB$ 和 $\triangle CEA$ 中，因为 $\begin{cases}\angle ABD = \angle CAE\\\angle BDA = \angle AEC\\AB = CA\end{cases}$，所以 $\triangle ADB\cong\triangle CEA$（AAS）。所以 $BD = AE$，$AD = CE$。所以 $DE = AE + AD = BD + CE$

7. ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，点D以1厘米/秒的速度从点A出发，沿AC移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿BC移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动. 直线PQ经过Rt△ABC的顶点C，过点D，E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为M，N. 设运动时间为t秒，当t为何值时，CD=CE？并说明此时△DCM≌△CEN.
　　　　　　　　　　

答案： 由题意，得 $CD=(6 - t)$厘米，$CE=(8 - 3t)$厘米。因为 $CD = CE$，所以 $6 - t = 8 - 3t$，解得 $t = 1$。因为 $DM\perp PQ$，$EN\perp PQ$，所以 $\angle DMC = \angle CNE = 90^{\circ}$。所以 $\angle DCM + \angle CDM = 90^{\circ}$。因为 $\angle ACB = 90^{\circ}$，所以 $\angle DCM + \angle NCE = 90^{\circ}$。所以 $\angle CDM = \angle NCE$。在 $\triangle DCM$ 和 $\triangle CEN$ 中，因为 $\begin{cases}\angle DMC = \angle CNE\\\angle CDM = \angle ECN\\CD = EC\end{cases}$，所以 $\triangle DCM\cong\triangle CEN$（AAS）