《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

三、解答题(共40分)
6. ★（40分）如图①，在Rt△ABC中，∠CBA = 90°，AB = BC，AC = 2，把一块含30°角的三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中点上（三角尺的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上，点B在DF上.
（1）求重叠部分△BCD的面积.
（2）如图②，将三角尺DEF绕点D按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M，DF交AB于点N.
① 试说明：DM = DN.
② 在此条件下，重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积；若不发生变化，请说明理由.
（3）如图③，将三角尺DEF绕点D按顺时针方向旋转α（0° ＜ α ＜ 90°），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM = DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会发生变化吗（直接写出结论，不需要说明理由）？
　　　

答案：

(1)因为AC = 2，D是AC的中点，所以$CD = \frac{1}{2}AC = 1.$因为AB = BC，∠ABC = 90°，所以$∠A = ∠BCD = \frac{1}{2}(180° - ∠ABC) = 45°.$因为∠EDF = 90°，所以∠CBD = 90° - ∠BCD = 45°.所以∠CBD = ∠BCD.过点D作DG⊥BC于点G，则∠DGB = ∠DGC = 90°. 在△DGB和△DGC中，因为∠DGB = ∠DGC，∠CBD = ∠BCD，DG = DG，所以△DGB≌△DGC(AAS).所以BD = CD = 1.所以$S_{△BCD} = \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×1×1 = \frac{1}{2} $
(2)①如图，连接BD.由
(1)可知，CD = BD，∠C = ∠CBD = 45°，又因为∠CBA = 90°，所以∠NBD = ∠CBA - ∠CBD = 45°.所以∠C = ∠NBD.由旋转可知，∠CDM = ∠BDN = 30°.在△CDM和△BDN中，因为$\begin{cases}∠C = ∠NBD, \\ CD = BD, \\ ∠CDM = ∠BDN,\end{cases} $所以△CDM≌△BDN(ASA).所以DM = DN
②不发生变化 理由:由①可知，△CDM≌△BDN，所以$S_{△CDM} = S_{△BDN}.$所以$S_{四边形BNDM} = S_{△BDN} + S_{△BDM} = S_{△CDM} + S_{△BDM} = S_{△BCD} = \frac{1}{2}，$即在此条件下，重叠部分的面积不发生变化.
(3)DM = DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会发生变化