《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

11. (9分)试说明：(\frac{1}{4}m³ + 2n)(\frac{1}{4}m³ - 2n) + (2n - 4)(2n + 4)的值和n无关.

答案： 原式=($\frac{1}{4}$m³)²−(2n)²+(2n)²−4²=$\frac{1}{16}$m⁶−4n²+4n²−16=$\frac{1}{16}$m⁶−16,所以原式的值和n无关

12. ★(18分)
(1)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①)，然后拼成一个平行四边形(如图②)，图②中平行四边形的一条底边长为a + b，这条底边上的高为________；通过观察比较图①与图②中的涂色部分的面积，可以得到乘法公式：________________(用含a，b的等式表示).
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)运用(1)中得到的公式，计算下列各题：
① 201×199 =________； ② 2032² - 2031×2033 =________；
③ 2(x - y - 3)(x - y + 3)=________.

答案：
(1)a−b(a+b)(a−b)=a²−b²
(2)①39999②1 ③2x²−4xy+2y²−18

13. ★★(18分)
(1)填空：
(x - 1)(x + 1)=________；
(x - 1)(x² + x + 1)=________；
(x - 1)(x³ + x² + x + 1)=________；
由此可得，(x - 1)(x⁹ + x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)=________.
(2)求1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰的值.
(3)根据以上结论，计算：1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁷ + 3⁹⁸ + 3⁹⁹.

答案：
(1)x²−1x³−1x⁴−1x¹⁰−1
(2)原式=(2−1)×(2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+...+2³+2²+2+1)=2¹¹−1=2047
(3)原式=$\frac{1}{2}$×(3−1)×(3⁹⁹+3⁹⁸+3⁹⁷+...+3³+3²+3+1)=$\frac{3^{100}-1}{2}$