《2025年通城学典活页检测七年级数学下册北师大版》

11. (12分)计算：
(1) ($\frac{1}{3}$x + y)($\frac{1}{3}$x - y)($\frac{1}{9}$x² + y²)；
(2) (a + b)(a - b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)．

答案：
(1)$\frac{1}{81}x^{4}-y^{4}$
(2)$a^{8}-b^{8}$

12. (11分)某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边x人的正方形队伍一边增加2人，另一边减少2人，实际参加比赛的人数相比于原来的人数是增加了还是减少了？增加或减少了多少人？

答案： 根据题意，得$x^{2}-(x + 2)(x - 2)=x^{2}-(x^{2}-4)=x^{2}-x^{2}+4 = 4$(人)，所以实际参加比赛的人数比原来减少了，减少了4人

13. ★★(16分)一名同学计算(4 + 1)×(4² + 1)时，运用了以下方法计算：(4 + 1)×(4² + 1) = $\frac{1}{4 - 1}$×(4 - 1)×(4 + 1)×(4² + 1) = $\frac{1}{3}$×(4² - 1)×(4² + 1) = $\frac{1}{3}$×(4⁴ - 1) = 85.
请根据这名同学的方法计算：
(1) (2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)；
(2) (1 + $\frac{1}{2}$)×(1 + $\frac{1}{2²}$)×(1 + $\frac{1}{2⁴}$)×(1 + $\frac{1}{2⁸}$) + $\frac{1}{2¹⁵}$．

答案：
(1)原式$=\frac{1}{2 - 1}\times(2 - 1)\times(2 + 1)\times(2^{2}+1)\times(2^{4}+1)=1\times(2^{2}-1)\times(2^{2}+1)\times(2^{4}+1)=(2^{4}-1)\times(2^{4}+1)=2^{8}-1 = 255$
(2)原式$=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times(1-\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{2^{2}})\times(1+\frac{1}{2^{4}})\times(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=2\times(1-\frac{1}{2^{2}})\times(1+\frac{1}{2^{2}})\times(1+\frac{1}{2^{4}})\times(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=2\times(1-\frac{1}{2^{4}})\times(1+\frac{1}{2^{4}})\times(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=2\times(1-\frac{1}{2^{8}})\times(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=2\times(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}=2$