《2025年七彩课堂六年级数学下册青岛版》

问题导入 [教材第40页例题]
工作总量和工作时间有什么关系呢？
啤酒生产情况记录表

1. 理解题意：通过观察记录表，了解表中两种量的变化规律，从而认识两种量的关系。
2. 观察记录表。
(1)工作时间越长，生产的啤酒越多；工作时间越短，生产的啤酒越少。工作总量随着工作时间的变化而变化，它们是两种相关联的量。
(2)$\frac{15}{1}=15$，$\frac{30}{2}=15$，$\frac{45}{3}=15$，$\frac{60}{4}=15$，$\frac{75}{5}=15$，$\frac{90}{6}=15$，$\frac{105}{7}=15$……
(3)用图像表示工作总量和工作时间的变化情况。

发现：根据工作总量和工作时间所绘出的图像是一条直线。
3. 用数量关系表示工作总量和工作时间的关系。
工作总量和工作时间的比值就是工作效率，工作总量和工作时间的比值一定，也就是工作效率一定，可以用式子表示它们的关系：$\frac{工作总量}{工作时间}=工作效率(一定)$。
4. 理解成正比例的量及正比例关系的意义。
工作总量和工作时间是两种相关联的量，工作时间变化，工作总量也随着变化。工作效率不变，也就是工作总量与工作时间的比值一定，我们就说工作总量和工作时间是成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
5. 正比例关系的字母表达式。
如果用字母$x$和$y$分别表示两种相关联的量，用$k$表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子表示为$\frac{y}{x}=k(一定)$。
6. 列举生活中成正比例关系的实例。
(1)一辆小汽车行驶的速度一定，那么它所行驶的路程与时间成正比例关系。
(2)一个圆柱形玻璃杯的底面积一定，那么里面所装水的体积与高度成正比例关系。
……
7. 拓展探究：正比例关系的判断方法。
(1)确定这两种量是相关联的量。
(2)如果这两种相关联的量中，相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就成正比例关系，否则，就不成正比例关系。
如每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数成正比例关系。
理由：大米的总质量随着袋数的变化而变化，它们是相关联的量，并且$\frac{大米的总质量}{袋数}=每袋大米的质量(一定)$，所以它们成正比例关系。

归纳总结
1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种相关联的量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
2. 如果用字母$x$和$y$表示两种相关联的量，用$k$表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子表示为$\frac{y}{x}=k(一定)$。
3. 判断两种量是否成正比例的方法：先判断两种量是不是相关联的量，再判断两种量中相对应的两个数的比值是否一定，最后作出判断。

答案：