《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

14. 如图,是一条宽度为 12 米的河流,在河的岸边有距离相等的三点$A$,$E$,$D$,点$B$,$C$是对岸的两点,分别与点$A$,$D$对应,$F$是点$B$,$C$间的动点,它从点$B$向点$C$运动.已知点$A$,$D$间的距离为 20 米,则点$F$与点$A$,$E$的距离和的最小值为26米,最大值为$(4\sqrt{34}+2\sqrt{61})$米.

答案：
$14.26 (4\sqrt{34}+2\sqrt{61}) [$解析]本题考查了最短路径问题以及勾股定理，熟练应用对称找到最短路径是解题的关键.
如图
(1)，作点E关于直线BC的对称点E'，连接AE'交BC于点F，此时AF + EF的值最小.由题意可知AB=12米，EE'=24米.
∵AD=20米，AE=DE，
∴AE=10米，
∴$AE'=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26（$米），即AF + EF的最小值为26米.
如图
(2)，当点F运动到与点C重合时，AF + EF的值最大.
∵AB=12米，BC=20米，
∴$AC=\sqrt{12^{2}+20^{2}}=4\sqrt{34}（$米）.
∵DC=12米，DE=10米，
∴$CE=\sqrt{12^{2}+10^{2}}=2\sqrt{61}（$米），
∴AF + EF的最大值为$(4\sqrt{34}+2\sqrt{61})$米.

15. 已知$\alpha$,$\beta$是关于$x$的方程$x^{2}-2tx+t^{2}-t+2=0$的两个实数根,则$\alpha^{2}-4t\alpha-2t\beta$的最大值为-20.

答案： 15.-20 [解析]本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系、求二次函数的最值.熟练利用整体代入法解决问题是解题的关键.
∵α,β是关于x的方程$x^{2}-2tx+t^{2}-t+2=0$的两个实数根，
∴α + β=2t，$α^{2}-2tα+t^{2}-t+2=0，$即$α^{2}-2tα=-t^{2}+t - 2，$
∴$α^{2}-4tα-2tβ=-t^{2}+t - 2-2t·2t=-5t^{2}+t - 2=-5(t-\frac{1}{10})^{2}-\frac{39}{20}.$
∵关于x的方程$x^{2}-2tx+t^{2}-t+2=0$有两个实数根，
∴$Δ=b^{2}-4ac=4t^{2}-4(t^{2}-t+2)=4t - 8≥0，$注意应用根与系数关系的前提是该一元二次方程存在根
解得t≥2.
∵$α^{2}-4tα-2tβ=-5(t-\frac{1}{10})^{2}-\frac{39}{20}，$-5＜0且2＞$\frac{1}{10}，$
∴当t=2时，$-5(t-\frac{1}{10})^{2}-\frac{39}{20}$取最大值，最大值为-20.

16. (本小题满分 8 分)
(1) 计算:$\sqrt{27}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{12}$;
(2) 先化简,再求值:$\left(1-\frac{1}{a+3}\right) ÷ \frac{a+2}{a^{2}-9}$,其中$a=2026$.

答案： 16.[解析]本题考查了实数的混合运算和分式化简求值.
解：
(1)原式$=3\sqrt{3}+(-2)-2\sqrt{3}=\sqrt{3}-2.$
(2)原式$=\frac{a+3 - 1}{a+3}·\frac{(a+3)(a - 3)}{a+2}=\frac{a+2}{a+3}·\frac{(a+3)(a - 3)}{a+2}=a - 3.$当a=2026时，
原式=2026 - 3=2023.

17. (本小题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$的三个顶点坐标分别为$A(-2,1)$,$B(-1,4)$,$C(-3,2)$.
(1) 以原点$O$为位似中心,在$y$轴左侧画出$\triangle ABC$的位似三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$,$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的相似比为$1:2$,点$A$,$B$,$C$对应点分别为点$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$;
(2) 在(1)的情况下直接写出点$C_{1}$的坐标.

答案：
17.[解析]本题考查了位似图形的作法以及平面直角坐标系中点的坐标特征.
解：
(1)如图，$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.

(2)
∵C(-3,2)，相似比为1:2，
∴点$C_{1}$的坐标为(-6,4).