《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21. (本小题满分 8 分)如图,AB 是$\odot O$的直径,C,D 是$\odot O$上的两点,$\overset{\frown} {AD}=\overset{\frown} {DC}=\overset{\frown} {CB}$,$DF \perp BC$于点 F,延长 FD 交 BA 的延长线于点 E,连接 BD.

(1)求证:DF 是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为 1,求图中阴影部分的面积.

答案：
21.[解析]本题考查了切线的证明、扇形面积的计算，解题的关键是连接切点，构造直角三角形，利用弧长相等，求得∠AOD的度数，从而得到DE的长，根据图形面积的和差关系即可求得阴影部分的面积.

(1)证明:如图,连接OD.
∵AD=DC,
∴∠OBD=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD//BC.
∵DF⊥BC,
∴OD⊥DF.
又OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:
∵OA是⊙O的直径，AD=DC=CB,
∴∠AOD=60°.
在Rt△ODE中,OD=1,
∴DE=√3,
∴S阴影=S△ODE−S扇形AOD=$\frac{1}{2}$×1×√3−$\frac{60\pi}{360}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$−$\frac{\pi}{6}$,
∴图中阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$−$\frac{\pi}{6}$.

22. (本小题满分 8 分)五一假期,小良家准备购买一套新楼房,要求楼层是一楼,位置在第二排,冬天采光不受第一排的影响.以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告,请你根据报告中的信息,解决两个问题.

答案：
22.[解析]本题考查了解直角三角形的实际应用.正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
解:
(1)在Rt△ABC中,∠ABC=
90°,BC=4.4m,∠ACB=70°,
∴AB=BC·tan70°≈4.4×2.75≈12(m),
∴楼房AB的高度约为12m
(2)如图
(1),过点D作DF⊥AB于点F.

则在Rt△ADF中,∠ADF=30°,
∵BE=19m,
∴AF=DF·tan30°=19×$\frac{\sqrt{3}}{3}$≈$\frac{19}{3}$×1.73≈10.96(m),
∴DE=BF=AB−AF=12−10.96≈1.0(m).
∵一楼窗户下端距离地面的高度为1.4m,1.0＜1.4,
∴不会影响一楼的采光.
一题多解　如图
(2),延长AD交BE 的延长线于点F,

∵∠α=30°,
∴∠AFB=30°.
在Rt△ABF中,
∵AB=12m,
∴BF=$\frac{AB}{tan30°}$=12÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=12√3(m),
∵BE=19m,
∴EF=BF−BE=(12√3−19)m,
∴DE=EF·tan30°=(12√3−19)×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=12−19×$\frac{\sqrt{3}}{3}$≈12−10.96≈1.0(m),
∵一楼窗户下端距离地面的高度为1.4m,又1.0＜1.4,
∴不会影响一楼的采光.