《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

24. (本小题满分 12 分)已知抛物线$y=ax^{2}+bx-3$交$x$轴于点$A(-1,0)$,点$B$,交$y$轴于点$C$. 点$C$向右平移 2 个单位长度,得到点$D$,点$D$在抛物线$y=ax^{2}+bx-3$上. 点$E$为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式及顶点$E$的坐标；
(2)连接$BC$,点$M$是线段$BC$上一动点,连接$OM$,作射线$CD$.
①在射线$CD$上取一点$F$,使$CF=CO$,连接$FM$. 当$OM+FM$的值最小时,求点$M$的坐标；
②点$N$是射线$CD$上一动点,且满足$CN=CM$. 作射线$CE$,在射线$CE$上取一点$G$,使$CG=CO$. 连接$GN$,$BN$. 求$OM+BN$的最小值；
(3)点$P$在抛物线$y=ax^{2}+bx-3$的对称轴上,若$\angle OAP+\angle OCA=45\degree$,则点$P$的坐标为$(1,1)$或$(1,-1)$.

答案：
24.[解析]本题考查了二次函数及其图象的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.
解：
(1)由题意，得$C(0,-3)$，$D(2,-3)$，
将点$A$和点$D$坐标代入$y=ax^{2}+bx-3$，
得$\begin{cases}a-b-3=0,\\4a+2b-3=-3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=x^{2}-2x-3$.
$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
$\therefore E(1,-4)$.
(2)①$\because C(0,-3)$，$D(2,-3)$，
$\therefore CD\bot OC$.
$\because CF=CO=3$，$\therefore OF=3\sqrt{2}$，
$\therefore OM+FM\geqslant OF=3\sqrt{2}$.
当$O$，$M$，$F$共线时，$OM+FM$最小.
由$x^{2}-2x-3=0$，
得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，
$\therefore B(3,0)$，$\therefore FB\bot OB$.
$\because\angle BOC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$BOCF$是矩形.$\because OB=OC=3$，
$\therefore$矩形$BOCF$是正方形，
$\therefore$点$M$为$OF$的中点，
$\therefore M(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$.
②如图
(1)，作$EH\bot CN$于点$H$.

$\because E(1,-4)$，$C(0,3)$，
$\therefore EH=CH=1$，
$\therefore\angle ECH=\angle CEH=45^{\circ}$.
由①知$\angle BCO=45^{\circ}$，
$\therefore\angle BCO=\angle ECH$.
$\because CO=CG$，$CM=CN$，
$\therefore\triangle OCM\cong\triangle GCN(SAS)$，
$\therefore OM=NG$，
$\therefore OM+BN=NG+BN\geqslant BG$，
$\therefore$当点$B$，$N$，$G$共线时，$OM+BN$最小.
$\because\angle BCG=90^{\circ}$，$BC=3\sqrt{2}$，$CG=3$，
$\therefore$结合$\angle BCN=45^{\circ}$和$\angle NCG=45^{\circ}$可得
$BG=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+3^{2}}=3\sqrt{3}$，
$\therefore OM+BN$的最小值为$3\sqrt{3}$.
(3)$(1,1)$或$(1,-1)$提示：如图
(2)，设$EP$交$AB$于点$G$，作$GW\bot BC$于点$W$.

$\because E(1,-4)$，$\therefore G(1,0)$.
$\because A(-1,0)$，$\therefore OA=OG$.
$\because OC\bot AG$，$\therefore AC=GC$.
$\therefore\angle GCO=\angle OCA$.
$\because\angle OCB=45^{\circ}$，
$\therefore\angle GCO+\angle BCG=45^{\circ}$.
$\because\angle OAP+\angle OCA=45^{\circ}$，
$\therefore\angle OAP=\angle BCG$.
$\because BG=OB-OG=2$，$\angle OBC=45^{\circ}$，
$\therefore GW=BW=\sqrt{2}$.
$\because BC=3\sqrt{2}$，
$\therefore CW=BC-BW=2\sqrt{2}$，
$\therefore\tan\angle OAP=\tan\angle BCG=\frac{GW}{CW}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\frac{PG}{AG}=\frac{1}{2}$，
$\therefore PG=\frac{1}{2}AG=1$，
$\therefore P(1,1)$或$(1,-1)$.