《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分 10 分)如图，在$\bigtriangleup OAB$中，点$A$在$\odot O$上，边$OB$交$\odot O$于点$C$，$AD \perp OB$于点$D$. $AC$是$\angle BAD$的平分线.
(1) 求证：$AB$为$\odot O$的切线；
(2) 若$\odot O$的半径为$2$，$\angle AOB = 4 5 ^ { \circ }$，求$CB$的长.

答案： 20.[解析]本题考查了切线的判定、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理.
(1)先求得∠OAC=∠OCA，再由角平分线的定义求得∠DAC=∠BAC，可推理证明AB⊥OA，即可证明AB为⊙O的切线；
(2)先证明△OAB为等腰直角三角形，再求得OB=2$\sqrt{2}$，据此求解即可.
(1)证明:
∵AD⊥OB，
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，即AB⊥OA.
∵OA为⊙O半径，
∴AB为⊙O的切线.
(2)解:
∵∠AOB=45°，AB⊥OA，
∴△OAB是等腰直角三角形.
∵⊙O的半径为2，
∴OA=2=OC，
∴OB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴CB=OB−OC=2$\sqrt{2}$−2.
知识拓展 切线的证明一般有两种思路：①当已知条件给出圆与直线的公共点时，只要证圆心与公共点的连线垂直即可，即“连半径，证垂直”；②当已知条件未给出圆与直线的公共点时，过圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证相等”.