《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

23.(本小题满分 13 分)二次函数$y=ax^2+bx+\frac{b^2-4b}{4}(a≠0,a,b$为实数).
(1)当$a=1$，$b≠0$时，探究发现二次函数图象的顶点恰好在直线$y_1=kx$上.
①直接写出 k 的值为2;
②若二次函数图象与直线$y_1$有两个交点，设两个交点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，请证明$|x_1-x_2|=2$;若二次函数图象与直线$y_1$没有两个交点，请说明理由.
(2)若$b＞0$，直线$y_2=bx+\frac{1}{a}$与二次函数$y=ax^2+bx+\frac{b^2-4b}{4}$的图象相交于$C(\frac{1}{a},p)$和$D(m,n)$两点，其中$p≠0$.
①求 b 的值;
②当$1≤x≤3$时，求二次函数$y=ax^2+bx+\frac{b^2-4b}{4}$的最大值.

答案：
23.[解析]本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系、分类讨论的思想.
(1)①当a=1,b≠0时,二次函数的表达式为y=x²+bx+$\frac{b²−4b}{4}$,求出二次函数的顶点坐标为(−$\frac{b}{2}$,−b),因为二次函数的顶点恰好在直线y₁=kx上，可得−b=−$\frac{b}{2}$×k,求出k的值;
②联立后根据一元二次方程根与系数的关系可得x₁+x₂=2−b,x₁x₂=$\frac{b²−4b}{4}$,再利用|x₁−x₂|=$\sqrt{(x₁+x₂)²−4x₁x₂}$计算求值即可;
(2)①根据点C在二次函数和直线y₂上，得$\frac{b}{a}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{b²−4b}{4}$,可得$\frac{b}{a}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{b²−4b}{4}$,解得b=0(舍去)或b=4,
∴b=4.
②由①知b=4,
∴二次函数的表达式为y=ax²+4x,
∴抛物线的对称轴为直线x=−$\frac{4}{2a}$=−$\frac{2}{a}$,
当a＞0时，二次函数开口向上，如图
(1)：

∴对称轴为直线x=−$\frac{2}{a}$＜1,
∴在1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y取最大值为9a+12.
当−2≤−$\frac{2}{a}$≤3时，
解得−2≤a≤−$\frac{2}{3}$.
如图
(2)：

此时二次函数在1≤x≤3上的图象，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y取得最大值为9a+12;
当1≤−$\frac{2}{a}$≤3时，
解得−2≤a≤−$\frac{2}{3}$.
如图
(3)：

此时二次函数在1≤x≤3上的图象，y随x的增大先增大后减小，当x=−$\frac{2}{a}$时，y取得最大值−$\frac{4}{a}$.
当对称轴−$\frac{2}{a}$＜1时，解得a＜−2.
如图
(4)：

此时二次函数在1≤x≤3上的图象，y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y取最大值为a+4.
综上所述，当a＞−$\frac{2}{3}$且a≠0时最大值为9a+12;当−2≤a≤−$\frac{2}{3}$时，最大值为−$\frac{4}{a}$;当a＜−2时，最大值为a+4.